Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73467 / 76601
↖ ↑ ↗
← S 29.058570°
E 21.783142°		 ← 266.98 m → S 29.058570°
E 21.785889°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.060971°
E 21.783142°		 ← 266.97 m →
71 268 m²		 S 29.060971°
E 21.785889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560512542724609 y=0.584423065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560512542724609 × 217)
    floor (0.560512542724609 × 131072)
    floor (73467.5)     		tx = 73467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584423065185547 × 217)
    floor (0.584423065185547 × 131072)
    floor (76601.5)     		ty = 76601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73467 / 76601 ti = "17/73467/76601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73467/76601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73467 ÷ 217
    73467 ÷ 131072     		x = 0.560508728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76601 ÷ 217
    76601 ÷ 131072     		y = 0.584419250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560508728027344 × 2 - 1) × π
    0.121017456054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.38018755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584419250488281 × 2 - 1) × π
    -0.168838500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.530421794295921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38018755} λ = 0.38018755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530421794295921))-π/2
    2×atan(0.588356751811714)-π/2
    2×0.531814297105699-π/2
    1.0636285942114-1.57079632675     		φ = -0.50716773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38018755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.783142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50716773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.058570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73467 KachelY 76601 0.38018755 -0.50716773 21.783142 -29.058570
    Oben rechts KachelX + 1 73468 KachelY 76601 0.38023549 -0.50716773 21.785889 -29.058570
    Unten links KachelX 73467 KachelY + 1 76602 0.38018755 -0.50720963 21.783142 -29.060971
    Unten rechts KachelX + 1 73468 KachelY + 1 76602 0.38023549 -0.50720963 21.785889 -29.060971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50716773--0.50720963) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dl = 266.944899999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50716773--0.50720963) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dr = 266.944899999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38018755-0.38023549) × cos(-0.50716773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874123655099985 × 6371000     		do = 266.979864210552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38018755-0.38023549) × cos(-0.50720963) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874103303358374 × 6371000     		du = 266.97364826481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50716773)-sin(-0.50720963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874123655099985-0.874103303358374)×R²
    abs(0.38023549-0.38018755)×2.03517416111909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03517416111909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03517416111909e-05×40589641000000     		ar = 71268.0835065916m²