Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73466 / 76602
↖ ↑ ↗
← S 29.060971°
E 21.780395°		 ← 266.97 m → S 29.060971°
E 21.783142°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.063372°
E 21.780395°		 ← 266.97 m →
71 283 m²		 S 29.063372°
E 21.783142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560504913330078 y=0.584430694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560504913330078 × 217)
    floor (0.560504913330078 × 131072)
    floor (73466.5)     		tx = 73466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584430694580078 × 217)
    floor (0.584430694580078 × 131072)
    floor (76602.5)     		ty = 76602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73466 / 76602 ti = "17/73466/76602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73466/76602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73466 ÷ 217
    73466 ÷ 131072     		x = 0.560501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76602 ÷ 217
    76602 ÷ 131072     		y = 0.584426879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560501098632812 × 2 - 1) × π
    0.121002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38013961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584426879882812 × 2 - 1) × π
    -0.168853759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.530469731195541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38013961} λ = 0.38013961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530469731195541))-π/2
    2×atan(0.588328548489157)-π/2
    2×0.531793345960685-π/2
    1.06358669192137-1.57079632675     		φ = -0.50720963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38013961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50720963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.060971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73466 KachelY 76602 0.38013961 -0.50720963 21.780395 -29.060971
    Oben rechts KachelX + 1 73467 KachelY 76602 0.38018755 -0.50720963 21.783142 -29.060971
    Unten links KachelX 73466 KachelY + 1 76603 0.38013961 -0.50725154 21.780395 -29.063372
    Unten rechts KachelX + 1 73467 KachelY + 1 76603 0.38018755 -0.50725154 21.783142 -29.063372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50720963--0.50725154) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50720963--0.50725154) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38013961-0.38018755) × cos(-0.50720963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874103303358374 × 6371000     		do = 266.973648264501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38013961-0.38018755) × cos(-0.50725154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874082945224411 × 6371000     		du = 266.96743036637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50720963)-sin(-0.50725154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874103303358374-0.874082945224411)×R²
    abs(0.38018755-0.38013961)×2.03581339627279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03581339627279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03581339627279e-05×40589641000000     		ar = 71283.4326239005m²