Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73465 / 76603
↖ ↑ ↗
← S 29.063372°
E 21.777649°		 ← 266.91 m → S 29.063372°
E 21.780395°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.065773°
E 21.777649°		 ← 266.91 m →
71 250 m²		 S 29.065773°
E 21.780395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560497283935547 y=0.584438323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560497283935547 × 217)
    floor (0.560497283935547 × 131072)
    floor (73465.5)     		tx = 73465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584438323974609 × 217)
    floor (0.584438323974609 × 131072)
    floor (76603.5)     		ty = 76603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73465 / 76603 ti = "17/73465/76603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73465/76603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73465 ÷ 217
    73465 ÷ 131072     		x = 0.560493469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76603 ÷ 217
    76603 ÷ 131072     		y = 0.584434509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560493469238281 × 2 - 1) × π
    0.120986938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.38009168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584434509277344 × 2 - 1) × π
    -0.168869018554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.530517668095161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38009168} λ = 0.38009168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530517668095161))-π/2
    2×atan(0.588300346518547)-π/2
    2×0.53177239530351-π/2
    1.06354479060702-1.57079632675     		φ = -0.50725154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38009168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.777649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50725154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.063372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73465 KachelY 76603 0.38009168 -0.50725154 21.777649 -29.063372
    Oben rechts KachelX + 1 73466 KachelY 76603 0.38013961 -0.50725154 21.780395 -29.063372
    Unten links KachelX 73465 KachelY + 1 76604 0.38009168 -0.50729344 21.777649 -29.065773
    Unten rechts KachelX + 1 73466 KachelY + 1 76604 0.38013961 -0.50729344 21.780395 -29.065773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50725154--0.50729344) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50725154--0.50729344) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38009168-0.38013961) × cos(-0.50725154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.874082945224411 × 6371000     		do = 266.911742542268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38009168-0.38013961) × cos(-0.50729344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.8740625904133 × 6371000     		du = 266.905526955827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50725154)-sin(-0.50729344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874082945224411-0.8740625904133)×R²
    abs(0.38013961-0.38009168)×2.03548111108454e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03548111108454e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03548111108454e-05×40589641000000     		ar = 71249.8988227005m²