Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73465 / 54017
↖ ↑ ↗
← N 30.142752°
E 21.777649°		 ← 264.07 m → N 30.142752°
E 21.780395°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 30.140377°
E 21.777649°		 ← 264.08 m →
69 753 m²		 N 30.140377°
E 21.780395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560497283935547 y=0.412120819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560497283935547 × 217)
    floor (0.560497283935547 × 131072)
    floor (73465.5)     		tx = 73465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412120819091797 × 217)
    floor (0.412120819091797 × 131072)
    floor (54017.5)     		ty = 54017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73465 / 54017 ti = "17/73465/54017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73465/54017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73465 ÷ 217
    73465 ÷ 131072     		x = 0.560493469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54017 ÷ 217
    54017 ÷ 131072     		y = 0.412117004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560493469238281 × 2 - 1) × π
    0.120986938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.38009168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412117004394531 × 2 - 1) × π
    0.175765991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.552185146723427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38009168} λ = 0.38009168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552185146723427))-π/2
    2×atan(1.7370445710616)-π/2
    2×1.04844329766786-π/2
    2.09688659533572-1.57079632675     		φ = 0.52609027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38009168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.777649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52609027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.142752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73465 KachelY 54017 0.38009168 0.52609027 21.777649 30.142752
    Oben rechts KachelX + 1 73466 KachelY 54017 0.38013961 0.52609027 21.780395 30.142752
    Unten links KachelX 73465 KachelY + 1 54018 0.38009168 0.52604881 21.777649 30.140377
    Unten rechts KachelX + 1 73466 KachelY + 1 54018 0.38013961 0.52604881 21.780395 30.140377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52609027-0.52604881) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dl = 264.141659999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52609027-0.52604881) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dr = 264.141659999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38009168-0.38013961) × cos(0.52609027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864776969928264 × 6371000     		do = 264.070051034705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38009168-0.38013961) × cos(0.52604881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864797788578714 × 6371000     		du = 264.076408260069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52609027)-sin(0.52604881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864776969928264-0.864797788578714)×R²
    abs(0.38013961-0.38009168)×2.08186504501162e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08186504501162e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08186504501162e-05×40589641000000     		ar = 69752.7412505094m²