Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73464 / 76598
↖ ↑ ↗
← S 29.051368°
E 21.774902°		 ← 267 m → S 29.051368°
E 21.777649°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.053769°
E 21.774902°		 ← 266.99 m →
71 290 m²		 S 29.053769°
E 21.777649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560489654541016 y=0.584400177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560489654541016 × 217)
    floor (0.560489654541016 × 131072)
    floor (73464.5)     		tx = 73464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584400177001953 × 217)
    floor (0.584400177001953 × 131072)
    floor (76598.5)     		ty = 76598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73464 / 76598 ti = "17/73464/76598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73464/76598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73464 ÷ 217
    73464 ÷ 131072     		x = 0.56048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76598 ÷ 217
    76598 ÷ 131072     		y = 0.584396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56048583984375 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584396362304688 × 2 - 1) × π
    -0.168792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.530277983597061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38004374} λ = 0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530277983597061))-π/2
    2×atan(0.588441369891718)-π/2
    2×0.531877153467521-π/2
    1.06375430693504-1.57079632675     		φ = -0.50704202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50704202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.051368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73464 KachelY 76598 0.38004374 -0.50704202 21.774902 -29.051368
    Oben rechts KachelX + 1 73465 KachelY 76598 0.38009168 -0.50704202 21.777649 -29.051368
    Unten links KachelX 73464 KachelY + 1 76599 0.38004374 -0.50708393 21.774902 -29.053769
    Unten rechts KachelX + 1 73465 KachelY + 1 76599 0.38009168 -0.50708393 21.777649 -29.053769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50704202--0.50708393) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50704202--0.50708393) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38004374-0.38009168) × cos(-0.50704202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		do = 266.998510718277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38004374-0.38009168) × cos(-0.50708393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874164353979311 × 6371000     		du = 266.992294695578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50704202)-sin(-0.50708393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87418470597289-0.874164353979311)×R²
    abs(0.38009168-0.38004374)×2.03519935789709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03519935789709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03519935789709e-05×40589641000000     		ar = 71290.0713636106m²