Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73461 / 76599
↖ ↑ ↗
← S 29.053769°
E 21.766663°		 ← 266.99 m → S 29.053769°
E 21.769409°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.056170°
E 21.766663°		 ← 266.99 m →
71 271 m²		 S 29.056170°
E 21.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560466766357422 y=0.584407806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560466766357422 × 217)
    floor (0.560466766357422 × 131072)
    floor (73461.5)     		tx = 73461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584407806396484 × 217)
    floor (0.584407806396484 × 131072)
    floor (76599.5)     		ty = 76599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73461 / 76599 ti = "17/73461/76599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73461/76599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73461 ÷ 217
    73461 ÷ 131072     		x = 0.560462951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76599 ÷ 217
    76599 ÷ 131072     		y = 0.584403991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560462951660156 × 2 - 1) × π
    0.120925903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37989993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584403991699219 × 2 - 1) × π
    -0.168807983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.530325920496681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37989993} λ = 0.37989993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530325920496681))-π/2
    2×atan(0.58841316251293)-π/2
    2×0.531856200859142-π/2
    1.06371240171828-1.57079632675     		φ = -0.50708393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37989993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.766663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50708393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.053769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73461 KachelY 76599 0.37989993 -0.50708393 21.766663 -29.053769
    Oben rechts KachelX + 1 73462 KachelY 76599 0.37994787 -0.50708393 21.769409 -29.053769
    Unten links KachelX 73461 KachelY + 1 76600 0.37989993 -0.50712583 21.766663 -29.056170
    Unten rechts KachelX + 1 73462 KachelY + 1 76600 0.37994787 -0.50712583 21.769409 -29.056170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50708393--0.50712583) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50708393--0.50712583) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37989993-0.37994787) × cos(-0.50708393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874164353979311 × 6371000     		do = 266.992294695887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37989993-0.37994787) × cos(-0.50712583) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874144005306976 × 6371000     		du = 266.986079687581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50708393)-sin(-0.50712583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874164353979311-0.874144005306976)×R²
    abs(0.37994787-0.37989993)×2.03486723350244e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03486723350244e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03486723350244e-05×40589641000000     		ar = 71271.4018864137m²