Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7346 / 4464
↖ ↑ ↗
← N 63.074866°
W 18.588867°		 ← 1 106.38 m → N 63.074866°
W 18.566894°		 →
↑
1 106.52 m
↓
↑
1 106.52 m
↓
N 63.064914°
W 18.588867°		 ← 1 106.76 m →
1 224 435 m²		 N 63.064914°
W 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448394775390625 y=0.272491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448394775390625 × 214)
    floor (0.448394775390625 × 16384)
    floor (7346.5)     		tx = 7346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272491455078125 × 214)
    floor (0.272491455078125 × 16384)
    floor (4464.5)     		ty = 4464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7346 / 4464 ti = "14/7346/4464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7346/4464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7346 ÷ 214
    7346 ÷ 16384     		x = 0.4483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4464 ÷ 214
    4464 ÷ 16384     		y = 0.2724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32443694} λ = -0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42967009426855))-π/2
    2×atan(4.17732084248504)-π/2
    2×1.33583020416517-π/2
    2.67166040833034-1.57079632675     		φ = 1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7346 KachelY 4464 -0.32443694 1.10086408 -18.588867 63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 7347 KachelY 4464 -0.32405344 1.10086408 -18.566894 63.074866
    Unten links KachelX 7346 KachelY + 1 4465 -0.32443694 1.10069040 -18.588867 63.064914
    Unten rechts KachelX + 1 7347 KachelY + 1 4465 -0.32405344 1.10069040 -18.566894 63.064914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10086408-1.10069040) × R
    0.000173680000000065 × 6371000     		dl = 1106.51528000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10086408-1.10069040) × R
    0.000173680000000065 × 6371000     		dr = 1106.51528000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32443694--0.32405344) × cos(1.10086408) × R
    0.000383499999999981 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 1106.37973130259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32443694--0.32405344) × cos(1.10069040) × R
    0.000383499999999981 × 0.45298072380929 × 6371000     		du = 1106.75806339762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10086408)-sin(1.10069040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.45298072380929)×R²
    abs(-0.32405344--0.32443694)×0.000154846078755433×R²
    0.000383499999999981×0.000154846078755433×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154846078755433×40589641000000     		ar = 1224435.39636818m²