Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73457 / 54036
↖ ↑ ↗
← N 30.097613°
E 21.755676°		 ← 264.25 m → N 30.097613°
E 21.758423°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
N 30.095237°
E 21.755676°		 ← 264.25 m →
69 833 m²		 N 30.095237°
E 21.758423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560436248779297 y=0.412265777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560436248779297 × 217)
    floor (0.560436248779297 × 131072)
    floor (73457.5)     		tx = 73457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412265777587891 × 217)
    floor (0.412265777587891 × 131072)
    floor (54036.5)     		ty = 54036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73457 / 54036 ti = "17/73457/54036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73457/54036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73457 ÷ 217
    73457 ÷ 131072     		x = 0.560432434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54036 ÷ 217
    54036 ÷ 131072     		y = 0.412261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560432434082031 × 2 - 1) × π
    0.120864868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.37970818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412261962890625 × 2 - 1) × π
    0.17547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551274345630646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37970818} λ = 0.37970818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551274345630646))-π/2
    2×atan(1.73546318923953)-π/2
    2×1.04804938773033-π/2
    2.09609877546066-1.57079632675     		φ = 0.52530245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37970818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.755676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52530245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.097613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73457 KachelY 54036 0.37970818 0.52530245 21.755676 30.097613
    Oben rechts KachelX + 1 73458 KachelY 54036 0.37975612 0.52530245 21.758423 30.097613
    Unten links KachelX 73457 KachelY + 1 54037 0.37970818 0.52526097 21.755676 30.095237
    Unten rechts KachelX + 1 73458 KachelY + 1 54037 0.37975612 0.52526097 21.758423 30.095237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52530245-0.52526097) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52530245-0.52526097) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37970818-0.37975612) × cos(0.52530245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865172310173802 × 6371000     		do = 264.24589306217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37970818-0.37975612) × cos(0.52526097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865193110600005 × 6371000     		du = 264.252246047735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52530245)-sin(0.52526097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865172310173802-0.865193110600005)×R²
    abs(0.37975612-0.37970818)×2.0800426203671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0800426203671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0800426203671e-05×40589641000000     		ar = 69832.8585119725m²