Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73455 / 54039
↖ ↑ ↗
← N 30.090484°
E 21.750183°		 ← 264.21 m → N 30.090484°
E 21.752929°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
N 30.088108°
E 21.750183°		 ← 264.22 m →
69 806 m²		 N 30.088108°
E 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560420989990234 y=0.412288665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560420989990234 × 217)
    floor (0.560420989990234 × 131072)
    floor (73455.5)     		tx = 73455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412288665771484 × 217)
    floor (0.412288665771484 × 131072)
    floor (54039.5)     		ty = 54039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73455 / 54039 ti = "17/73455/54039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73455/54039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73455 ÷ 217
    73455 ÷ 131072     		x = 0.560417175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54039 ÷ 217
    54039 ÷ 131072     		y = 0.412284851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560417175292969 × 2 - 1) × π
    0.120834350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37961231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412284851074219 × 2 - 1) × π
    0.175430297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.551130534931786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37961231} λ = 0.37961231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551130534931786))-π/2
    2×atan(1.73521362901059)-π/2
    2×1.04798717496988-π/2
    2.09597434993976-1.57079632675     		φ = 0.52517802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37961231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.750183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52517802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.090484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73455 KachelY 54039 0.37961231 0.52517802 21.750183 30.090484
    Oben rechts KachelX + 1 73456 KachelY 54039 0.37966024 0.52517802 21.752929 30.090484
    Unten links KachelX 73455 KachelY + 1 54040 0.37961231 0.52513655 21.750183 30.088108
    Unten rechts KachelX + 1 73456 KachelY + 1 54040 0.37966024 0.52513655 21.752929 30.088108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52517802-0.52513655) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52517802-0.52513655) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37961231-0.37966024) × cos(0.52517802) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865234701972778 × 6371000     		do = 264.209825020708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37961231-0.37966024) × cos(0.52513655) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865255492919993 × 6371000     		du = 264.216173786555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52517802)-sin(0.52513655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865234701972778-0.865255492919993)×R²
    abs(0.37966024-0.37961231)×2.07909472148549e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07909472148549e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07909472148549e-05×40589641000000     		ar = 69806.4932761992m²