Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73454 / 54038
↖ ↑ ↗
← N 30.092861°
E 21.747436°		 ← 264.26 m → N 30.092861°
E 21.750183°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
N 30.090484°
E 21.747436°		 ← 264.26 m →
69 836 m²		 N 30.090484°
E 21.750183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560413360595703 y=0.412281036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560413360595703 × 217)
    floor (0.560413360595703 × 131072)
    floor (73454.5)     		tx = 73454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412281036376953 × 217)
    floor (0.412281036376953 × 131072)
    floor (54038.5)     		ty = 54038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73454 / 54038 ti = "17/73454/54038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73454/54038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73454 ÷ 217
    73454 ÷ 131072     		x = 0.560409545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54038 ÷ 217
    54038 ÷ 131072     		y = 0.412277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560409545898438 × 2 - 1) × π
    0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412277221679688 × 2 - 1) × π
    0.175445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.551178471831406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37956437} λ = 0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551178471831406))-π/2
    2×atan(1.73529681176589)-π/2
    2×1.04800791305515-π/2
    2.09601582611031-1.57079632675     		φ = 0.52521950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52521950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.092861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73454 KachelY 54038 0.37956437 0.52521950 21.747436 30.092861
    Oben rechts KachelX + 1 73455 KachelY 54038 0.37961231 0.52521950 21.750183 30.092861
    Unten links KachelX 73454 KachelY + 1 54039 0.37956437 0.52517802 21.747436 30.090484
    Unten rechts KachelX + 1 73455 KachelY + 1 54039 0.37961231 0.52517802 21.750183 30.090484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52521950-0.52517802) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52521950-0.52517802) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37956437-0.37961231) × cos(0.52521950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865213904523537 × 6371000     		do = 264.258597047523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37956437-0.37961231) × cos(0.52517802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865234701972778 × 6371000     		du = 264.264949123848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52521950)-sin(0.52517802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865213904523537-0.865234701972778)×R²
    abs(0.37961231-0.37956437)×2.07974492409946e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07974492409946e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07974492409946e-05×40589641000000     		ar = 69836.2156624309m²