Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73452 / 54037
↖ ↑ ↗
← N 30.095237°
E 21.741944°		 ← 264.20 m → N 30.095237°
E 21.744690°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
N 30.092861°
E 21.741944°		 ← 264.20 m →
69 803 m²		 N 30.092861°
E 21.744690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560398101806641 y=0.412273406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560398101806641 × 217)
    floor (0.560398101806641 × 131072)
    floor (73452.5)     		tx = 73452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412273406982422 × 217)
    floor (0.412273406982422 × 131072)
    floor (54037.5)     		ty = 54037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73452 / 54037 ti = "17/73452/54037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73452/54037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73452 ÷ 217
    73452 ÷ 131072     		x = 0.560394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54037 ÷ 217
    54037 ÷ 131072     		y = 0.412269592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560394287109375 × 2 - 1) × π
    0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412269592285156 × 2 - 1) × π
    0.175460815429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.551226408731026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37946850} λ = 0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551226408731026))-π/2
    2×atan(1.7353799985088)-π/2
    2×1.04802865064198-π/2
    2.09605730128396-1.57079632675     		φ = 0.52526097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52526097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.095237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73452 KachelY 54037 0.37946850 0.52526097 21.741944 30.095237
    Oben rechts KachelX + 1 73453 KachelY 54037 0.37951643 0.52526097 21.744690 30.095237
    Unten links KachelX 73452 KachelY + 1 54038 0.37946850 0.52521950 21.741944 30.092861
    Unten rechts KachelX + 1 73453 KachelY + 1 54038 0.37951643 0.52521950 21.744690 30.092861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52526097-0.52521950) × R
    4.14700000000989e-05 × 6371000     		dl = 264.20537000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52526097-0.52521950) × R
    4.14700000000989e-05 × 6371000     		dr = 264.20537000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37946850-0.37951643) × cos(0.52526097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865193110600005 × 6371000     		do = 264.197124594994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37946850-0.37951643) × cos(0.52521950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865213904523537 × 6371000     		du = 264.203474269695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52526097)-sin(0.52521950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865193110600005-0.865213904523537)×R²
    abs(0.37951643-0.37946850)×2.07939235316035e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07939235316035e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07939235316035e-05×40589641000000     		ar = 69803.1378758937m²