Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73450 / 61355
↖ ↑ ↗
← N 11.407341°
E 21.736450°		 ← 299.39 m → N 11.407341°
E 21.739197°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 11.404649°
E 21.736450°		 ← 299.40 m →
89 630 m²		 N 11.404649°
E 21.739197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560382843017578 y=0.468105316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560382843017578 × 217)
    floor (0.560382843017578 × 131072)
    floor (73450.5)     		tx = 73450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468105316162109 × 217)
    floor (0.468105316162109 × 131072)
    floor (61355.5)     		ty = 61355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73450 / 61355 ti = "17/73450/61355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73450/61355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73450 ÷ 217
    73450 ÷ 131072     		x = 0.560379028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61355 ÷ 217
    61355 ÷ 131072     		y = 0.468101501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560379028320312 × 2 - 1) × π
    0.120758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37937262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468101501464844 × 2 - 1) × π
    0.0637969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.200424177311455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37937262} λ = 0.37937262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200424177311455))-π/2
    2×atan(1.22192095939516)-π/2
    2×0.884945994639258-π/2
    1.76989198927852-1.57079632675     		φ = 0.19909566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37937262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19909566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.407341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73450 KachelY 61355 0.37937262 0.19909566 21.736450 11.407341
    Oben rechts KachelX + 1 73451 KachelY 61355 0.37942056 0.19909566 21.739197 11.407341
    Unten links KachelX 73450 KachelY + 1 61356 0.37937262 0.19904867 21.736450 11.404649
    Unten rechts KachelX + 1 73451 KachelY + 1 61356 0.37942056 0.19904867 21.739197 11.404649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19909566-0.19904867) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19909566-0.19904867) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37937262-0.37942056) × cos(0.19909566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980245841675057 × 6371000     		do = 299.392311575677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37937262-0.37942056) × cos(0.19904867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980255134413008 × 6371000     		du = 299.395149817043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19909566)-sin(0.19904867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980245841675057-0.980255134413008)×R²
    abs(0.37942056-0.37937262)×9.29273795091667e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.29273795091667e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.29273795091667e-06×40589641000000     		ar = 89630.486180476m²