Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7345 / 3917
↖ ↑ ↗
← N 68.032243°
W 18.610840°		 ← 913.97 m → N 68.032243°
W 18.588867°		 →
↑
914.17 m
↓
↑
914.17 m
↓
N 68.024022°
W 18.610840°		 ← 914.29 m →
835 676 m²		 N 68.024022°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448333740234375 y=0.239105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448333740234375 × 214)
    floor (0.448333740234375 × 16384)
    floor (7345.5)     		tx = 7345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239105224609375 × 214)
    floor (0.239105224609375 × 16384)
    floor (3917.5)     		ty = 3917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7345 / 3917 ti = "14/7345/3917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7345/3917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7345 ÷ 214
    7345 ÷ 16384     		x = 0.44830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3917 ÷ 214
    3917 ÷ 16384     		y = 0.23907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32482043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23907470703125 × 2 - 1) × π
    0.5218505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32482043} λ = -0.32482043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63944196700592))-π/2
    2×atan(5.15229356006951)-π/2
    2×1.37909148306086-π/2
    2.75818296612172-1.57079632675     		φ = 1.18738664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32482043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.610840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18738664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.032243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7345 KachelY 3917 -0.32482043 1.18738664 -18.610840 68.032243
    Oben rechts KachelX + 1 7346 KachelY 3917 -0.32443694 1.18738664 -18.588867 68.032243
    Unten links KachelX 7345 KachelY + 1 3918 -0.32482043 1.18724315 -18.610840 68.024022
    Unten rechts KachelX + 1 7346 KachelY + 1 3918 -0.32443694 1.18724315 -18.588867 68.024022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18738664-1.18724315) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dl = 914.174789999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18738664-1.18724315) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dr = 914.174789999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32482043--0.32443694) × cos(1.18738664) × R
    0.000383489999999986 × 0.374084762670352 × 6371000     		do = 913.969424869812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32482043--0.32443694) × cos(1.18724315) × R
    0.000383489999999986 × 0.374217830658067 × 6371000     		du = 914.294538545471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18738664)-sin(1.18724315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374084762670352-0.374217830658067)×R²
    abs(-0.32443694--0.32482043)×0.000133067987714508×R²
    0.000383489999999986×0.000133067987714508×6371000²
    0.000383489999999986×0.000133067987714508×40589641000000     		ar = 835676.413843795m²