Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7345 / 10740
↖ ↑ ↗
← S 48.748945°
W 18.610840°		 ← 1 610.96 m → S 48.748945°
W 18.588867°		 →
↑
1 610.78 m
↓
↑
1 610.78 m
↓
S 48.763431°
W 18.610840°		 ← 1 610.49 m →
2 594 524 m²		 S 48.763431°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448333740234375 y=0.655548095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448333740234375 × 214)
    floor (0.448333740234375 × 16384)
    floor (7345.5)     		tx = 7345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655548095703125 × 214)
    floor (0.655548095703125 × 16384)
    floor (10740.5)     		ty = 10740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7345 / 10740 ti = "14/7345/10740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7345/10740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7345 ÷ 214
    7345 ÷ 16384     		x = 0.44830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10740 ÷ 214
    10740 ÷ 16384     		y = 0.655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32482043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977145761855225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32482043} λ = -0.32482043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977145761855225))-π/2
    2×atan(0.376383856330273)-π/2
    2×0.359983361847825-π/2
    0.719966723695649-1.57079632675     		φ = -0.85082960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32482043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.610840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85082960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.748945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7345 KachelY 10740 -0.32482043 -0.85082960 -18.610840 -48.748945
    Oben rechts KachelX + 1 7346 KachelY 10740 -0.32443694 -0.85082960 -18.588867 -48.748945
    Unten links KachelX 7345 KachelY + 1 10741 -0.32482043 -0.85108243 -18.610840 -48.763431
    Unten rechts KachelX + 1 7346 KachelY + 1 10741 -0.32443694 -0.85108243 -18.588867 -48.763431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85082960--0.85108243) × R
    0.000252829999999982 × 6371000     		dl = 1610.77992999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85082960--0.85108243) × R
    0.000252829999999982 × 6371000     		dr = 1610.77992999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32482043--0.32443694) × cos(-0.85082960) × R
    0.000383489999999986 × 0.65935965662025 × 6371000     		do = 1610.95726498386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32482043--0.32443694) × cos(-0.85108243) × R
    0.000383489999999986 × 0.659169550958705 × 6371000     		du = 1610.49279601991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85082960)-sin(-0.85108243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65935965662025-0.659169550958705)×R²
    abs(-0.32443694--0.32482043)×0.00019010566154487×R²
    0.000383489999999986×0.00019010566154487×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019010566154487×40589641000000     		ar = 2594523.56570264m²