Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7344 / 4465
↖ ↑ ↗
← N 63.064914°
W 18.632813°		 ← 1 106.76 m → N 63.064914°
W 18.610840°		 →
↑
1 106.96 m
↓
↑
1 106.96 m
↓
N 63.054959°
W 18.632813°		 ← 1 107.14 m →
1 225 348 m²		 N 63.054959°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448272705078125 y=0.272552490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448272705078125 × 214)
    floor (0.448272705078125 × 16384)
    floor (7344.5)     		tx = 7344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272552490234375 × 214)
    floor (0.272552490234375 × 16384)
    floor (4465.5)     		ty = 4465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7344 / 4465 ti = "14/7344/4465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7344/4465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7344 ÷ 214
    7344 ÷ 16384     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4465 ÷ 214
    4465 ÷ 16384     		y = 0.27252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27252197265625 × 2 - 1) × π
    0.4549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42928659907159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42928659907159))-π/2
    2×atan(4.17571916714281)-π/2
    2×1.33574336104526-π/2
    2.67148672209052-1.57079632675     		φ = 1.10069040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10069040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.064914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7344 KachelY 4465 -0.32520393 1.10069040 -18.632813 63.064914
    Oben rechts KachelX + 1 7345 KachelY 4465 -0.32482043 1.10069040 -18.610840 63.064914
    Unten links KachelX 7344 KachelY + 1 4466 -0.32520393 1.10051665 -18.632813 63.054959
    Unten rechts KachelX + 1 7345 KachelY + 1 4466 -0.32482043 1.10051665 -18.610840 63.054959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10069040-1.10051665) × R
    0.000173749999999862 × 6371000     		dl = 1106.96124999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10069040-1.10051665) × R
    0.000173749999999862 × 6371000     		dr = 1106.96124999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32482043) × cos(1.10069040) × R
    0.000383499999999981 × 0.45298072380929 × 6371000     		do = 1106.75806339762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32482043) × cos(1.10051665) × R
    0.000383499999999981 × 0.453135618624911 × 6371000     		du = 1107.13651457039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10069040)-sin(1.10051665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45298072380929-0.453135618624911)×R²
    abs(-0.32482043--0.32520393)×0.000154894815620976×R²
    0.000383499999999981×0.000154894815620976×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154894815620976×40589641000000     		ar = 1225347.75777921m²