Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73439 / 55517
↖ ↑ ↗
← N 26.517277°
E 21.706238°		 ← 273.24 m → N 26.517277°
E 21.708984°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.514820°
E 21.706238°		 ← 273.24 m →
74 664 m²		 N 26.514820°
E 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560298919677734 y=0.423564910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560298919677734 × 217)
    floor (0.560298919677734 × 131072)
    floor (73439.5)     		tx = 73439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423564910888672 × 217)
    floor (0.423564910888672 × 131072)
    floor (55517.5)     		ty = 55517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73439 / 55517 ti = "17/73439/55517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73439/55517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73439 ÷ 217
    73439 ÷ 131072     		x = 0.560295104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55517 ÷ 217
    55517 ÷ 131072     		y = 0.423561096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560295104980469 × 2 - 1) × π
    0.120590209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37884532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423561096191406 × 2 - 1) × π
    0.152877807617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.480279797293343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37884532} λ = 0.37884532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480279797293343))-π/2
    2×atan(1.61652663870079)-π/2
    2×1.01680506557805-π/2
    2.0336101311561-1.57079632675     		φ = 0.46281380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37884532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.706238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46281380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.517277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73439 KachelY 55517 0.37884532 0.46281380 21.706238 26.517277
    Oben rechts KachelX + 1 73440 KachelY 55517 0.37889325 0.46281380 21.708984 26.517277
    Unten links KachelX 73439 KachelY + 1 55518 0.37884532 0.46277091 21.706238 26.514820
    Unten rechts KachelX + 1 73440 KachelY + 1 55518 0.37889325 0.46277091 21.708984 26.514820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46281380-0.46277091) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46281380-0.46277091) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37884532-0.37889325) × cos(0.46281380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894799770758297 × 6371000     		do = 273.237874442455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37884532-0.37889325) × cos(0.46277091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		du = 273.243721568001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46281380)-sin(0.46277091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894799770758297-0.894818918933157)×R²
    abs(0.37889325-0.37884532)×1.91481748597067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91481748597067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91481748597067e-05×40589641000000     		ar = 74663.6464637812m²