Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73434 / 76631
↖ ↑ ↗
← S 29.130571°
E 21.692505°		 ← 266.79 m → S 29.130571°
E 21.695251°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.132970°
E 21.692505°		 ← 266.79 m →
71 167 m²		 S 29.132970°
E 21.695251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560260772705078 y=0.584651947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560260772705078 × 217)
    floor (0.560260772705078 × 131072)
    floor (73434.5)     		tx = 73434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584651947021484 × 217)
    floor (0.584651947021484 × 131072)
    floor (76631.5)     		ty = 76631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73434 / 76631 ti = "17/73434/76631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73434/76631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73434 ÷ 217
    73434 ÷ 131072     		x = 0.560256958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76631 ÷ 217
    76631 ÷ 131072     		y = 0.584648132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560256958007812 × 2 - 1) × π
    0.120513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37860563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584648132324219 × 2 - 1) × π
    -0.169296264648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.531859901284523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37860563} λ = 0.37860563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531859901284523))-π/2
    2×atan(0.587511239969108)-π/2
    2×0.531185975068389-π/2
    1.06237195013678-1.57079632675     		φ = -0.50842438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37860563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.692505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50842438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.130571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73434 KachelY 76631 0.37860563 -0.50842438 21.692505 -29.130571
    Oben rechts KachelX + 1 73435 KachelY 76631 0.37865357 -0.50842438 21.695251 -29.130571
    Unten links KachelX 73434 KachelY + 1 76632 0.37860563 -0.50846625 21.692505 -29.132970
    Unten rechts KachelX + 1 73435 KachelY + 1 76632 0.37865357 -0.50846625 21.695251 -29.132970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50842438--0.50846625) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50842438--0.50846625) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37860563-0.37865357) × cos(-0.50842438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873512605833125 × 6371000     		do = 266.793234035736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37860563-0.37865357) × cos(-0.50846625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		du = 266.787008498395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50842438)-sin(-0.50846625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873512605833125-0.873492222687487)×R²
    abs(0.37865357-0.37860563)×2.03831456384584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03831456384584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03831456384584e-05×40589641000000     		ar = 71167.2706571686m²