Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73433 / 76629
↖ ↑ ↗
← S 29.125773°
E 21.689759°		 ← 266.75 m → S 29.125773°
E 21.692505°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.128172°
E 21.689759°		 ← 266.74 m →
71 156 m²		 S 29.128172°
E 21.692505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560253143310547 y=0.584636688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560253143310547 × 217)
    floor (0.560253143310547 × 131072)
    floor (73433.5)     		tx = 73433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584636688232422 × 217)
    floor (0.584636688232422 × 131072)
    floor (76629.5)     		ty = 76629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73433 / 76629 ti = "17/73433/76629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73433/76629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73433 ÷ 217
    73433 ÷ 131072     		x = 0.560249328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76629 ÷ 217
    76629 ÷ 131072     		y = 0.584632873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560249328613281 × 2 - 1) × π
    0.120498657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37855770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584632873535156 × 2 - 1) × π
    -0.169265747070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.531764027485283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37855770} λ = 0.37855770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531764027485283))-π/2
    2×atan(0.587567569604005)-π/2
    2×0.531227849531685-π/2
    1.06245569906337-1.57079632675     		φ = -0.50834063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37855770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.689759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50834063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.125773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73433 KachelY 76629 0.37855770 -0.50834063 21.689759 -29.125773
    Oben rechts KachelX + 1 73434 KachelY 76629 0.37860563 -0.50834063 21.692505 -29.125773
    Unten links KachelX 73433 KachelY + 1 76630 0.37855770 -0.50838250 21.689759 -29.128172
    Unten rechts KachelX + 1 73434 KachelY + 1 76630 0.37860563 -0.50838250 21.692505 -29.128172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50834063--0.50838250) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50834063--0.50838250) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37855770-0.37860563) × cos(-0.50834063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873553372397593 × 6371000     		do = 266.750031108838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37855770-0.37860563) × cos(-0.50838250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		du = 266.743807805465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50834063)-sin(-0.50838250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873553372397593-0.873532992315061)×R²
    abs(0.37860563-0.37855770)×2.03800825324674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03800825324674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03800825324674e-05×40589641000000     		ar = 71155.7464115087m²