Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73430 / 55514
↖ ↑ ↗
← N 26.524650°
E 21.681519°		 ← 273.22 m → N 26.524650°
E 21.684265°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.522193°
E 21.681519°		 ← 273.23 m →
74 659 m²		 N 26.522193°
E 21.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560230255126953 y=0.423542022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560230255126953 × 217)
    floor (0.560230255126953 × 131072)
    floor (73430.5)     		tx = 73430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423542022705078 × 217)
    floor (0.423542022705078 × 131072)
    floor (55514.5)     		ty = 55514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73430 / 55514 ti = "17/73430/55514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73430/55514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73430 ÷ 217
    73430 ÷ 131072     		x = 0.560226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55514 ÷ 217
    55514 ÷ 131072     		y = 0.423538208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560226440429688 × 2 - 1) × π
    0.120452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37841389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423538208007812 × 2 - 1) × π
    0.152923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.480423607992203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37841389} λ = 0.37841389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480423607992203))-π/2
    2×atan(1.61675912924334)-π/2
    2×1.0168694044024-π/2
    2.03373880880481-1.57079632675     		φ = 0.46294248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37841389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.681519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46294248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.524650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73430 KachelY 55514 0.37841389 0.46294248 21.681519 26.524650
    Oben rechts KachelX + 1 73431 KachelY 55514 0.37846182 0.46294248 21.684265 26.524650
    Unten links KachelX 73430 KachelY + 1 55515 0.37841389 0.46289959 21.681519 26.522193
    Unten rechts KachelX + 1 73431 KachelY + 1 55515 0.37846182 0.46289959 21.684265 26.522193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46294248-0.46289959) × R
    4.28899999999621e-05 × 6371000     		dl = 273.252189999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46294248-0.46289959) × R
    4.28899999999621e-05 × 6371000     		dr = 273.252189999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37841389-0.37846182) × cos(0.46294248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894742311891846 × 6371000     		do = 273.220328686355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37841389-0.37846182) × cos(0.46289959) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894761465005076 × 6371000     		du = 273.226177319891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46294248)-sin(0.46289959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894742311891846-0.894761465005076)×R²
    abs(0.37846182-0.37841389)×1.91531132300859e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91531132300859e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91531132300859e-05×40589641000000     		ar = 74658.8522533308m²