Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7343 / 4463
↖ ↑ ↗
← N 63.084814°
W 18.654785°		 ← 1 105.97 m → N 63.084814°
W 18.632813°		 →
↑
1 106.20 m
↓
↑
1 106.20 m
↓
N 63.074866°
W 18.654785°		 ← 1 106.35 m →
1 223 633 m²		 N 63.074866°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448211669921875 y=0.272430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448211669921875 × 214)
    floor (0.448211669921875 × 16384)
    floor (7343.5)     		tx = 7343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272430419921875 × 214)
    floor (0.272430419921875 × 16384)
    floor (4463.5)     		ty = 4463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7343 / 4463 ti = "14/7343/4463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7343/4463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7343 ÷ 214
    7343 ÷ 16384     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4463 ÷ 214
    4463 ÷ 16384     		y = 0.27239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27239990234375 × 2 - 1) × π
    0.4552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43005358946552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43005358946552))-π/2
    2×atan(4.17892313217986)-π/2
    2×1.33591701759641-π/2
    2.67183403519283-1.57079632675     		φ = 1.10103771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10103771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.084814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7343 KachelY 4463 -0.32558742 1.10103771 -18.654785 63.084814
    Oben rechts KachelX + 1 7344 KachelY 4463 -0.32520393 1.10103771 -18.632813 63.084814
    Unten links KachelX 7343 KachelY + 1 4464 -0.32558742 1.10086408 -18.654785 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 7344 KachelY + 1 4464 -0.32520393 1.10086408 -18.632813 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10103771-1.10086408) × R
    0.000173629999999925 × 6371000     		dl = 1106.19672999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10103771-1.10086408) × R
    0.000173629999999925 × 6371000     		dr = 1106.19672999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32520393) × cos(1.10103771) × R
    0.000383490000000042 × 0.452671062576283 × 6371000     		do = 1105.97263509151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32520393) × cos(1.10086408) × R
    0.000383490000000042 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 1106.35088176609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10103771)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452671062576283-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.32520393--0.32558742)×0.000154815154251586×R²
    0.000383490000000042×0.000154815154251586×6371000²
    0.000383490000000042×0.000154815154251586×40589641000000     		ar = 1223632.52309976m²