Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73426 / 76562
↖ ↑ ↗
← S 28.964895°
E 21.670532°		 ← 267.17 m → S 28.964895°
E 21.673279°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.967298°
E 21.670532°		 ← 267.16 m →
71 386 m²		 S 28.967298°
E 21.673279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560199737548828 y=0.584125518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560199737548828 × 217)
    floor (0.560199737548828 × 131072)
    floor (73426.5)     		tx = 73426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584125518798828 × 217)
    floor (0.584125518798828 × 131072)
    floor (76562.5)     		ty = 76562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73426 / 76562 ti = "17/73426/76562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73426/76562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73426 ÷ 217
    73426 ÷ 131072     		x = 0.560195922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76562 ÷ 217
    76562 ÷ 131072     		y = 0.584121704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560195922851562 × 2 - 1) × π
    0.120391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37822214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584121704101562 × 2 - 1) × π
    -0.168243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528552255210739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37822214} λ = 0.37822214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528552255210739))-π/2
    2×atan(0.589457736601627)-π/2
    2×0.532631772004254-π/2
    1.06526354400851-1.57079632675     		φ = -0.50553278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37822214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50553278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.964895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73426 KachelY 76562 0.37822214 -0.50553278 21.670532 -28.964895
    Oben rechts KachelX + 1 73427 KachelY 76562 0.37827007 -0.50553278 21.673279 -28.964895
    Unten links KachelX 73426 KachelY + 1 76563 0.37822214 -0.50557472 21.670532 -28.967298
    Unten rechts KachelX + 1 73427 KachelY + 1 76563 0.37827007 -0.50557472 21.673279 -28.967298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50553278--0.50557472) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50553278--0.50557472) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37822214-0.37827007) × cos(-0.50553278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.874916587299224 × 6371000     		do = 267.166305178527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37822214-0.37827007) × cos(-0.50557472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.874896276092998 × 6371000     		du = 267.160102907362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50553278)-sin(-0.50557472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874916587299224-0.874896276092998)×R²
    abs(0.37827007-0.37822214)×2.03112062263644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03112062263644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03112062263644e-05×40589641000000     		ar = 71385.93866839m²