Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73426 / 55511
↖ ↑ ↗
← N 26.532023°
E 21.670532°		 ← 273.20 m → N 26.532023°
E 21.673279°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.529565°
E 21.670532°		 ← 273.21 m →
74 654 m²		 N 26.529565°
E 21.673279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560199737548828 y=0.423519134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560199737548828 × 217)
    floor (0.560199737548828 × 131072)
    floor (73426.5)     		tx = 73426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423519134521484 × 217)
    floor (0.423519134521484 × 131072)
    floor (55511.5)     		ty = 55511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73426 / 55511 ti = "17/73426/55511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73426/55511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73426 ÷ 217
    73426 ÷ 131072     		x = 0.560195922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55511 ÷ 217
    55511 ÷ 131072     		y = 0.423515319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560195922851562 × 2 - 1) × π
    0.120391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37822214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423515319824219 × 2 - 1) × π
    0.152969360351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.480567418691063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37822214} λ = 0.37822214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480567418691063))-π/2
    2×atan(1.61699165322293)-π/2
    2×1.01693373909483-π/2
    2.03386747818966-1.57079632675     		φ = 0.46307115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37822214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46307115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.532023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73426 KachelY 55511 0.37822214 0.46307115 21.670532 26.532023
    Oben rechts KachelX + 1 73427 KachelY 55511 0.37827007 0.46307115 21.673279 26.532023
    Unten links KachelX 73426 KachelY + 1 55512 0.37822214 0.46302826 21.670532 26.529565
    Unten rechts KachelX + 1 73427 KachelY + 1 55512 0.37827007 0.46302826 21.673279 26.529565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46307115-0.46302826) × R
    4.28899999999621e-05 × 6371000     		dl = 273.252189999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46307115-0.46302826) × R
    4.28899999999621e-05 × 6371000     		dr = 273.252189999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37822214-0.37827007) × cos(0.46307115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894684842676746 × 6371000     		do = 273.202779770169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37822214-0.37827007) × cos(0.46302826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894704000727646 × 6371000     		du = 273.208629911483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46307115)-sin(0.46302826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894684842676746-0.894704000727646)×R²
    abs(0.37827007-0.37822214)×1.91580508998035e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91580508998035e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91580508998035e-05×40589641000000     		ar = 74654.0571795699m²