Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73422 / 55510
↖ ↑ ↗
← N 26.534480°
E 21.659546°		 ← 273.25 m → N 26.534480°
E 21.662293°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.532023°
E 21.659546°		 ← 273.26 m →
74 668 m²		 N 26.532023°
E 21.662293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560169219970703 y=0.423511505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560169219970703 × 217)
    floor (0.560169219970703 × 131072)
    floor (73422.5)     		tx = 73422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423511505126953 × 217)
    floor (0.423511505126953 × 131072)
    floor (55510.5)     		ty = 55510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73422 / 55510 ti = "17/73422/55510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73422/55510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73422 ÷ 217
    73422 ÷ 131072     		x = 0.560165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55510 ÷ 217
    55510 ÷ 131072     		y = 0.423507690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560165405273438 × 2 - 1) × π
    0.120330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37803039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    0.152984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.480615355590683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37803039} λ = 0.37803039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480615355590683))-π/2
    2×atan(1.6170691686474)-π/2
    2×1.01695518307396-π/2
    2.03391036614792-1.57079632675     		φ = 0.46311404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37803039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46311404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.534480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73422 KachelY 55510 0.37803039 0.46311404 21.659546 26.534480
    Oben rechts KachelX + 1 73423 KachelY 55510 0.37807833 0.46311404 21.662293 26.534480
    Unten links KachelX 73422 KachelY + 1 55511 0.37803039 0.46307115 21.659546 26.532023
    Unten rechts KachelX + 1 73423 KachelY + 1 55511 0.37807833 0.46307115 21.662293 26.532023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46311404-0.46307115) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46311404-0.46307115) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37803039-0.37807833) × cos(0.46311404) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894665682980027 × 6371000     		do = 273.253928276917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37803039-0.37807833) × cos(0.46307115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894684842676746 × 6371000     		du = 273.259780141466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46311404)-sin(0.46307115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894665682980027-0.894684842676746)×R²
    abs(0.37807833-0.37803039)×1.91596967190621e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91596967190621e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91596967190621e-05×40589641000000     		ar = 74668.0338566423m²