Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7342 / 10739
↖ ↑ ↗
← S 48.734456°
W 18.676758°		 ← 1 611.46 m → S 48.734456°
W 18.654785°		 →
↑
1 611.16 m
↓
↑
1 611.16 m
↓
S 48.748945°
W 18.676758°		 ← 1 611 m →
2 595 955 m²		 S 48.748945°
W 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448150634765625 y=0.655487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448150634765625 × 214)
    floor (0.448150634765625 × 16384)
    floor (7342.5)     		tx = 7342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655487060546875 × 214)
    floor (0.655487060546875 × 16384)
    floor (10739.5)     		ty = 10739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7342 / 10739 ti = "14/7342/10739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7342/10739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7342 ÷ 214
    7342 ÷ 16384     		x = 0.4481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10739 ÷ 214
    10739 ÷ 16384     		y = 0.65545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32597092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.976762266658264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32597092} λ = -0.32597092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976762266658264))-π/2
    2×atan(0.376528225412045)-π/2
    2×0.360109810704859-π/2
    0.720219621409717-1.57079632675     		φ = -0.85057671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32597092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.676758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85057671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.734456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7342 KachelY 10739 -0.32597092 -0.85057671 -18.676758 -48.734456
    Oben rechts KachelX + 1 7343 KachelY 10739 -0.32558742 -0.85057671 -18.654785 -48.734456
    Unten links KachelX 7342 KachelY + 1 10740 -0.32597092 -0.85082960 -18.676758 -48.748945
    Unten rechts KachelX + 1 7343 KachelY + 1 10740 -0.32558742 -0.85082960 -18.654785 -48.748945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85057671--0.85082960) × R
    0.00025288999999995 × 6371000     		dl = 1611.16218999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85057671--0.85082960) × R
    0.00025288999999995 × 6371000     		dr = 1611.16218999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32597092--0.32558742) × cos(-0.85057671) × R
    0.000383499999999981 × 0.659549765233197 × 6371000     		do = 1611.46376107424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32597092--0.32558742) × cos(-0.85082960) × R
    0.000383499999999981 × 0.65935965662025 × 6371000     		du = 1610.99927278756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85057671)-sin(-0.85082960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659549765233197-0.65935965662025)×R²
    abs(-0.32558742--0.32597092)×0.000190108612947104×R²
    0.000383499999999981×0.000190108612947104×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190108612947104×40589641000000     		ar = 2595955.31324929m²