Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73414 / 76679
↖ ↑ ↗
← S 29.245667°
E 21.637574°		 ← 266.44 m → S 29.245667°
E 21.640320°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 29.248063°
E 21.637574°		 ← 266.43 m →
70 988 m²		 S 29.248063°
E 21.640320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560108184814453 y=0.585018157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560108184814453 × 217)
    floor (0.560108184814453 × 131072)
    floor (73414.5)     		tx = 73414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585018157958984 × 217)
    floor (0.585018157958984 × 131072)
    floor (76679.5)     		ty = 76679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73414 / 76679 ti = "17/73414/76679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73414/76679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73414 ÷ 217
    73414 ÷ 131072     		x = 0.560104370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76679 ÷ 217
    76679 ÷ 131072     		y = 0.585014343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560104370117188 × 2 - 1) × π
    0.120208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37764690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585014343261719 × 2 - 1) × π
    -0.170028686523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.534160872466286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37764690} λ = 0.37764690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534160872466286))-π/2
    2×atan(0.58616094762462)-π/2
    2×0.530181574703743-π/2
    1.06036314940749-1.57079632675     		φ = -0.51043318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37764690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.637574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51043318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.245667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73414 KachelY 76679 0.37764690 -0.51043318 21.637574 -29.245667
    Oben rechts KachelX + 1 73415 KachelY 76679 0.37769483 -0.51043318 21.640320 -29.245667
    Unten links KachelX 73414 KachelY + 1 76680 0.37764690 -0.51047500 21.637574 -29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 73415 KachelY + 1 76680 0.37769483 -0.51047500 21.640320 -29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51043318--0.51047500) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51043318--0.51047500) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37764690-0.37769483) × cos(-0.51043318) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872532957149528 × 6371000     		do = 266.438435036937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37764690-0.37769483) × cos(-0.51047500) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 266.432195836025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51043318)-sin(-0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872532957149528-0.872512525005714)×R²
    abs(0.37769483-0.37764690)×2.04321438141974e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04321438141974e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04321438141974e-05×40589641000000     		ar = 70987.7518944467m²