Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7341 / 5627
↖ ↑ ↗
← N 48.994636°
W 18.698730°		 ← 1 603.07 m → N 48.994636°
W 18.676758°		 →
↑
1 603.33 m
↓
↑
1 603.33 m
↓
N 48.980217°
W 18.698730°		 ← 1 603.53 m →
2 570 609 m²		 N 48.980217°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448089599609375 y=0.343475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448089599609375 × 214)
    floor (0.448089599609375 × 16384)
    floor (7341.5)     		tx = 7341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343475341796875 × 214)
    floor (0.343475341796875 × 16384)
    floor (5627.5)     		ty = 5627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7341 / 5627 ti = "14/7341/5627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7341/5627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7341 ÷ 214
    7341 ÷ 16384     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5627 ÷ 214
    5627 ÷ 16384     		y = 0.34344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    0.3131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.983665180203552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983665180203552))-π/2
    2×atan(2.67423987263295)-π/2
    2×1.2129570202526-π/2
    2.42591404050521-1.57079632675     		φ = 0.85511771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85511771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.994636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7341 KachelY 5627 -0.32635441 0.85511771 -18.698730 48.994636
    Oben rechts KachelX + 1 7342 KachelY 5627 -0.32597092 0.85511771 -18.676758 48.994636
    Unten links KachelX 7341 KachelY + 1 5628 -0.32635441 0.85486605 -18.698730 48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 7342 KachelY + 1 5628 -0.32597092 0.85486605 -18.676758 48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85511771-0.85486605) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dl = 1603.32585999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85511771-0.85486605) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dr = 1603.32585999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(0.85511771) × R
    0.000383489999999986 × 0.656129684650302 × 6371000     		do = 1603.0657496956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(0.85486605) × R
    0.000383489999999986 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 1603.52970146453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85511771)-sin(0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656129684650302-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.32597092--0.32635441)×0.000189893975278244×R²
    0.000383489999999986×0.000189893975278244×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189893975278244×40589641000000     		ar = 2570608.71826827m²