Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7341 / 5625
↖ ↑ ↗
← N 49.023461°
W 18.698730°		 ← 1 602.14 m → N 49.023461°
W 18.676758°		 →
↑
1 602.37 m
↓
↑
1 602.37 m
↓
N 49.009051°
W 18.698730°		 ← 1 602.60 m →
2 567 590 m²		 N 49.009051°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448089599609375 y=0.343353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448089599609375 × 214)
    floor (0.448089599609375 × 16384)
    floor (7341.5)     		tx = 7341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343353271484375 × 214)
    floor (0.343353271484375 × 16384)
    floor (5625.5)     		ty = 5625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7341 / 5625 ti = "14/7341/5625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7341/5625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7341 ÷ 214
    7341 ÷ 16384     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5625 ÷ 214
    5625 ÷ 16384     		y = 0.34332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984432170597473))-π/2
    2×atan(2.67629177572069)-π/2
    2×1.21320857001704-π/2
    2.42641714003409-1.57079632675     		φ = 0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7341 KachelY 5625 -0.32635441 0.85562081 -18.698730 49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 7342 KachelY 5625 -0.32597092 0.85562081 -18.676758 49.023461
    Unten links KachelX 7341 KachelY + 1 5626 -0.32635441 0.85536930 -18.698730 49.009051
    Unten rechts KachelX + 1 7342 KachelY + 1 5626 -0.32597092 0.85536930 -18.676758 49.009051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85562081-0.85536930) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dl = 1602.37021000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85562081-0.85536930) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dr = 1602.37021000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(0.85562081) × R
    0.000383489999999986 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 1602.13794741368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(0.85536930) × R
    0.000383489999999986 × 0.655939801957449 × 6371000     		du = 1602.60182549205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85562081)-sin(0.85536930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655939801957449)×R²
    abs(-0.32597092--0.32635441)×0.000189863813966018×R²
    0.000383489999999986×0.000189863813966018×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189863813966018×40589641000000     		ar = 2567589.78498723m²