Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7341 / 10738
↖ ↑ ↗
← S 48.719961°
W 18.698730°		 ← 1 611.89 m → S 48.719961°
W 18.676758°		 →
↑
1 611.74 m
↓
↑
1 611.74 m
↓
S 48.734456°
W 18.698730°		 ← 1 611.42 m →
2 597 560 m²		 S 48.734456°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448089599609375 y=0.655426025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448089599609375 × 214)
    floor (0.448089599609375 × 16384)
    floor (7341.5)     		tx = 7341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655426025390625 × 214)
    floor (0.655426025390625 × 16384)
    floor (10738.5)     		ty = 10738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7341 / 10738 ti = "14/7341/10738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7341/10738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7341 ÷ 214
    7341 ÷ 16384     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10738 ÷ 214
    10738 ÷ 16384     		y = 0.6553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.310791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.976378771461304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976378771461304))-π/2
    2×atan(0.376672649869283)-π/2
    2×0.360236296017084-π/2
    0.720472592034168-1.57079632675     		φ = -0.85032373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85032373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.719961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7341 KachelY 10738 -0.32635441 -0.85032373 -18.698730 -48.719961
    Oben rechts KachelX + 1 7342 KachelY 10738 -0.32597092 -0.85032373 -18.676758 -48.719961
    Unten links KachelX 7341 KachelY + 1 10739 -0.32635441 -0.85057671 -18.698730 -48.734456
    Unten rechts KachelX + 1 7342 KachelY + 1 10739 -0.32597092 -0.85057671 -18.676758 -48.734456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85032373--0.85057671) × R
    0.000252979999999958 × 6371000     		dl = 1611.73557999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85032373--0.85057671) × R
    0.000252979999999958 × 6371000     		dr = 1611.73557999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(-0.85032373) × R
    0.000383489999999986 × 0.65973989930019 × 6371000     		do = 1611.88627952328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32597092) × cos(-0.85057671) × R
    0.000383489999999986 × 0.659549765233197 × 6371000     		du = 1611.42174115872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85032373)-sin(-0.85057671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65973989930019-0.659549765233197)×R²
    abs(-0.32597092--0.32635441)×0.00019013406699353×R²
    0.000383489999999986×0.00019013406699353×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019013406699353×40589641000000     		ar = 2597560.12496992m²