Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73406 / 76666
↖ ↑ ↗
← S 29.214508°
E 21.615601°		 ← 266.58 m → S 29.214508°
E 21.618347°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.216905°
E 21.615601°		 ← 266.57 m →
71 058 m²		 S 29.216905°
E 21.618347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560047149658203 y=0.584918975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560047149658203 × 217)
    floor (0.560047149658203 × 131072)
    floor (73406.5)     		tx = 73406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584918975830078 × 217)
    floor (0.584918975830078 × 131072)
    floor (76666.5)     		ty = 76666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73406 / 76666 ti = "17/73406/76666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73406/76666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73406 ÷ 217
    73406 ÷ 131072     		x = 0.560043334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76666 ÷ 217
    76666 ÷ 131072     		y = 0.584915161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560043334960938 × 2 - 1) × π
    0.120086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37726340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584915161132812 × 2 - 1) × π
    -0.169830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.533537692771225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37726340} λ = 0.37726340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533537692771225))-π/2
    2×atan(0.586526345067525)-π/2
    2×0.530453488492849-π/2
    1.0609069769857-1.57079632675     		φ = -0.50988935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37726340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.615601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50988935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.214508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73406 KachelY 76666 0.37726340 -0.50988935 21.615601 -29.214508
    Oben rechts KachelX + 1 73407 KachelY 76666 0.37731134 -0.50988935 21.618347 -29.214508
    Unten links KachelX 73406 KachelY + 1 76667 0.37726340 -0.50993119 21.615601 -29.216905
    Unten rechts KachelX + 1 73407 KachelY + 1 76667 0.37731134 -0.50993119 21.618347 -29.216905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50988935--0.50993119) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50988935--0.50993119) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37726340-0.37731134) × cos(-0.50988935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872798519115319 × 6371000     		do = 266.575133571526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37726340-0.37731134) × cos(-0.50993119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87277809705594 × 6371000     		du = 266.568896148928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50988935)-sin(-0.50993119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872798519115319-0.87277809705594)×R²
    abs(0.37731134-0.37726340)×2.04220593783555e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04220593783555e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04220593783555e-05×40589641000000     		ar = 71058.1400415249m²