Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73405 / 76664
↖ ↑ ↗
← S 29.209713°
E 21.612854°		 ← 266.59 m → S 29.209713°
E 21.615601°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.212111°
E 21.612854°		 ← 266.58 m →
71 061 m²		 S 29.212111°
E 21.615601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560039520263672 y=0.584903717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560039520263672 × 217)
    floor (0.560039520263672 × 131072)
    floor (73405.5)     		tx = 73405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584903717041016 × 217)
    floor (0.584903717041016 × 131072)
    floor (76664.5)     		ty = 76664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73405 / 76664 ti = "17/73405/76664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73405/76664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73405 ÷ 217
    73405 ÷ 131072     		x = 0.560035705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76664 ÷ 217
    76664 ÷ 131072     		y = 0.58489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560035705566406 × 2 - 1) × π
    0.120071411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.37721546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58489990234375 × 2 - 1) × π
    -0.1697998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533441818971985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37721546} λ = 0.37721546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533441818971985))-π/2
    2×atan(0.58658258027228)-π/2
    2×0.530495328726735-π/2
    1.06099065745347-1.57079632675     		φ = -0.50980567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37721546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.612854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50980567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.209713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73405 KachelY 76664 0.37721546 -0.50980567 21.612854 -29.209713
    Oben rechts KachelX + 1 73406 KachelY 76664 0.37726340 -0.50980567 21.615601 -29.209713
    Unten links KachelX 73405 KachelY + 1 76665 0.37721546 -0.50984751 21.612854 -29.212111
    Unten rechts KachelX + 1 73406 KachelY + 1 76665 0.37726340 -0.50984751 21.615601 -29.212111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50980567--0.50984751) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50980567--0.50984751) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37721546-0.37726340) × cos(-0.50980567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872839358650314 × 6371000     		do = 266.587607017031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37721546-0.37726340) × cos(-0.50984751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872818939646789 × 6371000     		du = 266.58137052777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50980567)-sin(-0.50984751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872839358650314-0.872818939646789)×R²
    abs(0.37726340-0.37721546)×2.04190035255625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04190035255625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04190035255625e-05×40589641000000     		ar = 71061.4651205566m²