Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73402 / 76671
↖ ↑ ↗
← S 29.226493°
E 21.604614°		 ← 266.54 m → S 29.226493°
E 21.607361°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.228890°
E 21.604614°		 ← 266.54 m →
71 050 m²		 S 29.228890°
E 21.607361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560016632080078 y=0.584957122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560016632080078 × 217)
    floor (0.560016632080078 × 131072)
    floor (73402.5)     		tx = 73402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584957122802734 × 217)
    floor (0.584957122802734 × 131072)
    floor (76671.5)     		ty = 76671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73402 / 76671 ti = "17/73402/76671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73402/76671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73402 ÷ 217
    73402 ÷ 131072     		x = 0.560012817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76671 ÷ 217
    76671 ÷ 131072     		y = 0.584953308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560012817382812 × 2 - 1) × π
    0.120025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37707165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584953308105469 × 2 - 1) × π
    -0.169906616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.533777377269325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37707165} λ = 0.37707165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533777377269325))-π/2
    2×atan(0.586385780641115)-π/2
    2×0.53034889647409-π/2
    1.06069779294818-1.57079632675     		φ = -0.51009853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37707165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.604614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51009853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.226493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73402 KachelY 76671 0.37707165 -0.51009853 21.604614 -29.226493
    Oben rechts KachelX + 1 73403 KachelY 76671 0.37711959 -0.51009853 21.607361 -29.226493
    Unten links KachelX 73402 KachelY + 1 76672 0.37707165 -0.51014037 21.604614 -29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 73403 KachelY + 1 76672 0.37711959 -0.51014037 21.607361 -29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51009853--0.51014037) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51009853--0.51014037) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37707165-0.37711959) × cos(-0.51009853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872696403305322 × 6371000     		do = 266.543944775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37707165-0.37711959) × cos(-0.51014037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 266.537705019476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51009853)-sin(-0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872696403305322-0.872675973607667)×R²
    abs(0.37711959-0.37707165)×2.04296976543672e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04296976543672e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04296976543672e-05×40589641000000     		ar = 71049.8259626917m²