Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73401 / 76669
↖ ↑ ↗
← S 29.221699°
E 21.601868°		 ← 266.50 m → S 29.221699°
E 21.604614°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.224096°
E 21.601868°		 ← 266.49 m →
71 038 m²		 S 29.224096°
E 21.604614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560009002685547 y=0.584941864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560009002685547 × 217)
    floor (0.560009002685547 × 131072)
    floor (73401.5)     		tx = 73401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584941864013672 × 217)
    floor (0.584941864013672 × 131072)
    floor (76669.5)     		ty = 76669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73401 / 76669 ti = "17/73401/76669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73401/76669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73401 ÷ 217
    73401 ÷ 131072     		x = 0.560005187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76669 ÷ 217
    76669 ÷ 131072     		y = 0.584938049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560005187988281 × 2 - 1) × π
    0.120010375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37702372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584938049316406 × 2 - 1) × π
    -0.169876098632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.533681503470085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37702372} λ = 0.37702372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533681503470085))-π/2
    2×atan(0.586442002368778)-π/2
    2×0.530390731813018-π/2
    1.06078146362604-1.57079632675     		φ = -0.51001486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37702372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.601868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51001486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.221699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73401 KachelY 76669 0.37702372 -0.51001486 21.601868 -29.221699
    Oben rechts KachelX + 1 73402 KachelY 76669 0.37707165 -0.51001486 21.604614 -29.221699
    Unten links KachelX 73401 KachelY + 1 76670 0.37702372 -0.51005670 21.601868 -29.224096
    Unten rechts KachelX + 1 73402 KachelY + 1 76670 0.37707165 -0.51005670 21.604614 -29.224096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51001486--0.51005670) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dl = 266.56264000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51001486--0.51005670) × R
    4.18400000000707e-05 × 6371000     		dr = 266.56264000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37702372-0.37707165) × cos(-0.51001486) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872737253235503 × 6371000     		do = 266.500819304472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37702372-0.37707165) × cos(-0.51005670) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872716826592979 × 6371000     		du = 266.494581783445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51001486)-sin(-0.51005670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872737253235503-0.872716826592979)×R²
    abs(0.37707165-0.37702372)×2.04266425243294e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04266425243294e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04266425243294e-05×40589641000000     		ar = 71038.3306214307m²