Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7340 / 8508
↖ ↑ ↗
← N 78.840319°
W139.680176°		 ← 118.23 m → N 78.840319°
W139.674682°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 78.839256°
W139.680176°		 ← 118.24 m →
13 980 m²		 N 78.839256°
W139.674682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112007141113281 y=0.129829406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112007141113281 × 216)
    floor (0.112007141113281 × 65536)
    floor (7340.5)     		tx = 7340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129829406738281 × 216)
    floor (0.129829406738281 × 65536)
    floor (8508.5)     		ty = 8508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7340 / 8508 ti = "16/7340/8508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7340/8508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7340 ÷ 216
    7340 ÷ 65536     		x = 0.11199951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8508 ÷ 216
    8508 ÷ 65536     		y = 0.12982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.7760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43787897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12982177734375 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32589836956512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43787897} λ = -2.43787897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32589836956512))-π/2
    2×atan(10.2358715519809)-π/2
    2×1.47340973771112-π/2
    2.94681947542225-1.57079632675     		φ = 1.37602315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43787897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37602315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.840319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7340 KachelY 8508 -2.43787897 1.37602315 -139.680176 78.840319
    Oben rechts KachelX + 1 7341 KachelY 8508 -2.43778309 1.37602315 -139.674682 78.840319
    Unten links KachelX 7340 KachelY + 1 8509 -2.43787897 1.37600459 -139.680176 78.839256
    Unten rechts KachelX + 1 7341 KachelY + 1 8509 -2.43778309 1.37600459 -139.674682 78.839256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37602315-1.37600459) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37602315-1.37600459) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43787897--2.43778309) × cos(1.37602315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.193544005603039 × 6371000     		do = 118.226642267667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43787897--2.43778309) × cos(1.37600459) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.193562214629707 × 6371000     		du = 118.237765278557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37602315)-sin(1.37600459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193544005603039-0.193562214629707)×R²
    abs(-2.43778309--2.43787897)×1.82090266678259e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.82090266678259e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.82090266678259e-05×40589641000000     		ar = 13980.4567921355m²