Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73396 / 76692
↖ ↑ ↗
← S 29.276816°
E 21.588135°		 ← 266.41 m → S 29.276816°
E 21.590881°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.279212°
E 21.588135°		 ← 266.41 m →
70 964 m²		 S 29.279212°
E 21.590881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559970855712891 y=0.585117340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559970855712891 × 217)
    floor (0.559970855712891 × 131072)
    floor (73396.5)     		tx = 73396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585117340087891 × 217)
    floor (0.585117340087891 × 131072)
    floor (76692.5)     		ty = 76692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73396 / 76692 ti = "17/73396/76692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73396/76692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73396 ÷ 217
    73396 ÷ 131072     		x = 0.559967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76692 ÷ 217
    76692 ÷ 131072     		y = 0.585113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559967041015625 × 2 - 1) × π
    0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585113525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17022705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.534784052161346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37678403} λ = 0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534784052161346))-π/2
    2×atan(0.585795777819045)-π/2
    2×0.52990974368828-π/2
    1.05981948737656-1.57079632675     		φ = -0.51097684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51097684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.276816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73396 KachelY 76692 0.37678403 -0.51097684 21.588135 -29.276816
    Oben rechts KachelX + 1 73397 KachelY 76692 0.37683197 -0.51097684 21.590881 -29.276816
    Unten links KachelX 73396 KachelY + 1 76693 0.37678403 -0.51101865 21.588135 -29.279212
    Unten rechts KachelX + 1 73397 KachelY + 1 76693 0.37683197 -0.51101865 21.590881 -29.279212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51097684--0.51101865) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51097684--0.51101865) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37678403-0.37683197) × cos(-0.51097684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872267220266224 × 6371000     		do = 266.412861227688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37678403-0.37683197) × cos(-0.51101865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872246773178535 × 6371000     		du = 266.4066161608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51097684)-sin(-0.51101865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872267220266224-0.872246773178535)×R²
    abs(0.37683197-0.37678403)×2.04470876894458e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04470876894458e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04470876894458e-05×40589641000000     		ar = 70963.9643850604m²