Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73393 / 61302
↖ ↑ ↗
← N 11.549998°
E 21.579895°		 ← 299.24 m → N 11.549998°
E 21.582642°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.547308°
E 21.579895°		 ← 299.24 m →
89 528 m²		 N 11.547308°
E 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559947967529297 y=0.467700958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559947967529297 × 217)
    floor (0.559947967529297 × 131072)
    floor (73393.5)     		tx = 73393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467700958251953 × 217)
    floor (0.467700958251953 × 131072)
    floor (61302.5)     		ty = 61302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73393 / 61302 ti = "17/73393/61302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73393/61302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73393 ÷ 217
    73393 ÷ 131072     		x = 0.559944152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61302 ÷ 217
    61302 ÷ 131072     		y = 0.467697143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559944152832031 × 2 - 1) × π
    0.119888305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.37664022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467697143554688 × 2 - 1) × π
    0.064605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.202964832991318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37664022} λ = 0.37664022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202964832991318))-π/2
    2×atan(1.2250293868709)-π/2
    2×0.886190914123346-π/2
    1.77238182824669-1.57079632675     		φ = 0.20158550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37664022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.579895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20158550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.549998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73393 KachelY 61302 0.37664022 0.20158550 21.579895 11.549998
    Oben rechts KachelX + 1 73394 KachelY 61302 0.37668816 0.20158550 21.582642 11.549998
    Unten links KachelX 73393 KachelY + 1 61303 0.37664022 0.20153854 21.579895 11.547308
    Unten rechts KachelX + 1 73394 KachelY + 1 61303 0.37668816 0.20153854 21.582642 11.547308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20158550-0.20153854) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dl = 299.18216000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20158550-0.20153854) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dr = 299.18216000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37664022-0.37668816) × cos(0.20158550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979750355898791 × 6371000     		do = 299.240977465455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37664022-0.37668816) × cos(0.20153854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979759757289447 × 6371000     		du = 299.243848892153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20158550)-sin(0.20153854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979750355898791-0.979759757289447)×R²
    abs(0.37668816-0.37664022)×9.40139065608303e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.40139065608303e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.40139065608303e-06×40589641000000     		ar = 89527.9915549651m²