Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73392 / 76463
↖ ↑ ↗
← S 28.726722°
E 21.577148°		 ← 267.83 m → S 28.726722°
E 21.579895°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
S 28.729131°
E 21.577148°		 ← 267.83 m →
71 735 m²		 S 28.729131°
E 21.579895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559940338134766 y=0.583370208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559940338134766 × 217)
    floor (0.559940338134766 × 131072)
    floor (73392.5)     		tx = 73392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583370208740234 × 217)
    floor (0.583370208740234 × 131072)
    floor (76463.5)     		ty = 76463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73392 / 76463 ti = "17/73392/76463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73392/76463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73392 ÷ 217
    73392 ÷ 131072     		x = 0.5599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76463 ÷ 217
    76463 ÷ 131072     		y = 0.583366394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5599365234375 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583366394042969 × 2 - 1) × π
    -0.166732788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.523806502148354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37659228} λ = 0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523806502148354))-π/2
    2×atan(0.592261805907691)-π/2
    2×0.534710222539721-π/2
    1.06942044507944-1.57079632675     		φ = -0.50137588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50137588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.726722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73392 KachelY 76463 0.37659228 -0.50137588 21.577148 -28.726722
    Oben rechts KachelX + 1 73393 KachelY 76463 0.37664022 -0.50137588 21.579895 -28.726722
    Unten links KachelX 73392 KachelY + 1 76464 0.37659228 -0.50141792 21.577148 -28.729131
    Unten rechts KachelX + 1 73393 KachelY + 1 76464 0.37664022 -0.50141792 21.579895 -28.729131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50137588--0.50141792) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50137588--0.50141792) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37659228-0.37664022) × cos(-0.50137588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876922099436588 × 6371000     		do = 267.834581142908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37659228-0.37664022) × cos(-0.50141792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876901892869998 × 6371000     		du = 267.828409537355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50137588)-sin(-0.50141792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876922099436588-0.876901892869998)×R²
    abs(0.37664022-0.37659228)×2.02065665892981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02065665892981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02065665892981e-05×40589641000000     		ar = 71735.1413748327m²