Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73391 / 76677
↖ ↑ ↗
← S 29.240874°
E 21.574402°		 ← 266.45 m → S 29.240874°
E 21.577148°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.243270°
E 21.574402°		 ← 266.44 m →
71 008 m²		 S 29.243270°
E 21.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559932708740234 y=0.585002899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559932708740234 × 217)
    floor (0.559932708740234 × 131072)
    floor (73391.5)     		tx = 73391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585002899169922 × 217)
    floor (0.585002899169922 × 131072)
    floor (76677.5)     		ty = 76677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73391 / 76677 ti = "17/73391/76677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73391/76677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73391 ÷ 217
    73391 ÷ 131072     		x = 0.559928894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76677 ÷ 217
    76677 ÷ 131072     		y = 0.584999084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559928894042969 × 2 - 1) × π
    0.119857788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37654435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584999084472656 × 2 - 1) × π
    -0.169998168945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.534064998667046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37654435} λ = 0.37654435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534064998667046))-π/2
    2×atan(0.586217147795654)-π/2
    2×0.530223402208123-π/2
    1.06044680441625-1.57079632675     		φ = -0.51034952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37654435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.574402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51034952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.240874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73391 KachelY 76677 0.37654435 -0.51034952 21.574402 -29.240874
    Oben rechts KachelX + 1 73392 KachelY 76677 0.37659228 -0.51034952 21.577148 -29.240874
    Unten links KachelX 73391 KachelY + 1 76678 0.37654435 -0.51039135 21.574402 -29.243270
    Unten rechts KachelX + 1 73392 KachelY + 1 76678 0.37659228 -0.51039135 21.577148 -29.243270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51034952--0.51039135) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51034952--0.51039135) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37654435-0.37659228) × cos(-0.51034952) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872573826628815 × 6371000     		do = 266.450915024097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37654435-0.37659228) × cos(-0.51039135) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		du = 266.444675263623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51034952)-sin(-0.51039135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872573826628815-0.872553392652546)×R²
    abs(0.37659228-0.37654435)×2.04339762688299e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04339762688299e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04339762688299e-05×40589641000000     		ar = 71008.0523170298m²