Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7339 / 8510
↖ ↑ ↗
← N 78.838192°
W139.685669°		 ← 118.24 m → N 78.838192°
W139.680176°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 78.837129°
W139.685669°		 ← 118.25 m →
13 982 m²		 N 78.837129°
W139.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111991882324219 y=0.129859924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111991882324219 × 216)
    floor (0.111991882324219 × 65536)
    floor (7339.5)     		tx = 7339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129859924316406 × 216)
    floor (0.129859924316406 × 65536)
    floor (8510.5)     		ty = 8510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7339 / 8510 ti = "16/7339/8510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7339/8510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7339 ÷ 216
    7339 ÷ 65536     		x = 0.111984252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8510 ÷ 216
    8510 ÷ 65536     		y = 0.129852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111984252929688 × 2 - 1) × π
    -0.776031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43797484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129852294921875 × 2 - 1) × π
    0.74029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32570662196664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43797484} λ = -2.43797484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32570662196664))-π/2
    2×atan(10.2339090363523)-π/2
    2×1.47339118016637-π/2
    2.94678236033275-1.57079632675     		φ = 1.37598603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43797484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.685669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37598603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.838192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7339 KachelY 8510 -2.43797484 1.37598603 -139.685669 78.838192
    Oben rechts KachelX + 1 7340 KachelY 8510 -2.43787897 1.37598603 -139.680176 78.838192
    Unten links KachelX 7339 KachelY + 1 8511 -2.43797484 1.37596747 -139.685669 78.837129
    Unten rechts KachelX + 1 7340 KachelY + 1 8511 -2.43787897 1.37596747 -139.680176 78.837129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37598603-1.37596747) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37598603-1.37596747) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43797484--2.43787897) × cos(1.37598603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193580423589698 × 6371000     		do = 118.236555240004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43797484--2.43787897) × cos(1.37596747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193598632483005 × 6371000     		du = 118.247677009342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37598603)-sin(1.37596747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193580423589698-0.193598632483005)×R²
    abs(-2.43787897--2.43797484)×1.82088933074198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82088933074198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82088933074198e-05×40589641000000     		ar = 13981.6288854852m²