Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73388 / 55411
↖ ↑ ↗
← N 26.777491°
E 21.566162°		 ← 272.62 m → N 26.777491°
E 21.568909°		 →
↑
272.68 m
↓
↑
272.68 m
↓
N 26.775039°
E 21.566162°		 ← 272.62 m →
74 337 m²		 N 26.775039°
E 21.568909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559909820556641 y=0.422756195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559909820556641 × 217)
    floor (0.559909820556641 × 131072)
    floor (73388.5)     		tx = 73388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422756195068359 × 217)
    floor (0.422756195068359 × 131072)
    floor (55411.5)     		ty = 55411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73388 / 55411 ti = "17/73388/55411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73388/55411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73388 ÷ 217
    73388 ÷ 131072     		x = 0.559906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55411 ÷ 217
    55411 ÷ 131072     		y = 0.422752380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559906005859375 × 2 - 1) × π
    0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422752380371094 × 2 - 1) × π
    0.154495239257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.485361108653069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37640054} λ = 0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485361108653069))-π/2
    2×atan(1.62476161840254)-π/2
    2×1.01907585909166-π/2
    2.03815171818331-1.57079632675     		φ = 0.46735539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46735539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.777491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73388 KachelY 55411 0.37640054 0.46735539 21.566162 26.777491
    Oben rechts KachelX + 1 73389 KachelY 55411 0.37644847 0.46735539 21.568909 26.777491
    Unten links KachelX 73388 KachelY + 1 55412 0.37640054 0.46731259 21.566162 26.775039
    Unten rechts KachelX + 1 73389 KachelY + 1 55412 0.37644847 0.46731259 21.568909 26.775039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46735539-0.46731259) × R
    4.2799999999954e-05 × 6371000     		dl = 272.678799999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46735539-0.46731259) × R
    4.2799999999954e-05 × 6371000     		dr = 272.678799999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37640054-0.37644847) × cos(0.46735539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892762876602815 × 6371000     		do = 272.615884307926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37640054-0.37644847) × cos(0.46731259) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892782158334461 × 6371000     		du = 272.621772216643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46735539)-sin(0.46731259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892762876602815-0.892782158334461)×R²
    abs(0.37644847-0.37640054)×1.92817316452265e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92817316452265e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92817316452265e-05×40589641000000     		ar = 74337.3749592922m²