Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73387 / 76696
↖ ↑ ↗
← S 29.286399°
E 21.563416°		 ← 266.39 m → S 29.286399°
E 21.566162°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.288795°
E 21.563416°		 ← 266.38 m →
70 957 m²		 S 29.288795°
E 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559902191162109 y=0.585147857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559902191162109 × 217)
    floor (0.559902191162109 × 131072)
    floor (73387.5)     		tx = 73387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585147857666016 × 217)
    floor (0.585147857666016 × 131072)
    floor (76696.5)     		ty = 76696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73387 / 76696 ti = "17/73387/76696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73387/76696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73387 ÷ 217
    73387 ÷ 131072     		x = 0.559898376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76696 ÷ 217
    76696 ÷ 131072     		y = 0.58514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559898376464844 × 2 - 1) × π
    0.119796752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.37635260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.534975799759827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37635260} λ = 0.37635260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534975799759827))-π/2
    2×atan(0.585683463653778)-π/2
    2×0.529826120037049-π/2
    1.0596522400741-1.57079632675     		φ = -0.51114409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37635260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.563416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51114409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.286399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73387 KachelY 76696 0.37635260 -0.51114409 21.563416 -29.286399
    Oben rechts KachelX + 1 73388 KachelY 76696 0.37640054 -0.51114409 21.566162 -29.286399
    Unten links KachelX 73387 KachelY + 1 76697 0.37635260 -0.51118590 21.563416 -29.288795
    Unten rechts KachelX + 1 73388 KachelY + 1 76697 0.37640054 -0.51118590 21.566162 -29.288795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51114409--0.51118590) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dl = 266.37150999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51114409--0.51118590) × R
    4.180999999992e-05 × 6371000     		dr = 266.37150999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37635260-0.37640054) × cos(-0.51114409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		do = 266.387876671917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37635260-0.37640054) × cos(-0.51118590) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872164964688478 × 6371000     		du = 266.381629742186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51114409)-sin(-0.51118590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872185417875333-0.872164964688478)×R²
    abs(0.37640054-0.37635260)×2.04531868545077e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04531868545077e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04531868545077e-05×40589641000000     		ar = 70957.3089629364m²