Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73385 / 61295
↖ ↑ ↗
← N 11.568834°
E 21.557923°		 ← 299.16 m → N 11.568834°
E 21.560669°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.566144°
E 21.557923°		 ← 299.16 m →
89 503 m²		 N 11.566144°
E 21.560669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559886932373047 y=0.467647552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559886932373047 × 217)
    floor (0.559886932373047 × 131072)
    floor (73385.5)     		tx = 73385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467647552490234 × 217)
    floor (0.467647552490234 × 131072)
    floor (61295.5)     		ty = 61295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73385 / 61295 ti = "17/73385/61295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73385/61295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73385 ÷ 217
    73385 ÷ 131072     		x = 0.559883117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61295 ÷ 217
    61295 ÷ 131072     		y = 0.467643737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559883117675781 × 2 - 1) × π
    0.119766235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37625673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467643737792969 × 2 - 1) × π
    0.0647125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203300391288658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37625673} λ = 0.37625673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203300391288658))-π/2
    2×atan(1.22544052462263)-π/2
    2×0.886355290278969-π/2
    1.77271058055794-1.57079632675     		φ = 0.20191425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37625673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.557923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20191425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.568834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73385 KachelY 61295 0.37625673 0.20191425 21.557923 11.568834
    Oben rechts KachelX + 1 73386 KachelY 61295 0.37630466 0.20191425 21.560669 11.568834
    Unten links KachelX 73385 KachelY + 1 61296 0.37625673 0.20186729 21.557923 11.566144
    Unten rechts KachelX + 1 73386 KachelY + 1 61296 0.37630466 0.20186729 21.560669 11.566144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20191425-0.20186729) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20191425-0.20186729) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37625673-0.37630466) × cos(0.20191425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979684479652593 × 6371000     		do = 299.158441466393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37625673-0.37630466) × cos(0.20186729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		du = 299.161316912744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20191425)-sin(0.20186729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979684479652593-0.979693896168297)×R²
    abs(0.37630466-0.37625673)×9.41651570440794e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.41651570440794e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.41651570440794e-06×40589641000000     		ar = 89503.298857714m²