Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7338 / 5479
↖ ↑ ↗
← N 75.912179°
W 99.382324°		 ← 297.36 m → N 75.912179°
W 99.371338°		 →
↑
297.40 m
↓
↑
297.40 m
↓
N 75.909504°
W 99.382324°		 ← 297.41 m →
88 442 m²		 N 75.909504°
W 99.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223953247070312 y=0.167221069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223953247070312 × 215)
    floor (0.223953247070312 × 32768)
    floor (7338.5)     		tx = 7338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167221069335938 × 215)
    floor (0.167221069335938 × 32768)
    floor (5479.5)     		ty = 5479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7338 / 5479 ti = "15/7338/5479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7338/5479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7338 ÷ 215
    7338 ÷ 32768     		x = 0.22393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5479 ÷ 215
    5479 ÷ 32768     		y = 0.167205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73454878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167205810546875 × 2 - 1) × π
    0.66558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09100756142685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73454878} λ = -1.73454878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09100756142685))-π/2
    2×atan(8.0930653181648)-π/2
    2×1.44785689133048-π/2
    2.89571378266095-1.57079632675     		φ = 1.32491746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73454878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32491746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.912179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7338 KachelY 5479 -1.73454878 1.32491746 -99.382324 75.912179
    Oben rechts KachelX + 1 7339 KachelY 5479 -1.73435703 1.32491746 -99.371338 75.912179
    Unten links KachelX 7338 KachelY + 1 5480 -1.73454878 1.32487078 -99.382324 75.909504
    Unten rechts KachelX + 1 7339 KachelY + 1 5480 -1.73435703 1.32487078 -99.371338 75.909504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32491746-1.32487078) × R
    4.66800000000767e-05 × 6371000     		dl = 297.398280000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32491746-1.32487078) × R
    4.66800000000767e-05 × 6371000     		dr = 297.398280000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73454878--1.73435703) × cos(1.32491746) × R
    0.000191749999999935 × 0.243408852484142 × 6371000     		do = 297.357807991987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73454878--1.73435703) × cos(1.32487078) × R
    0.000191749999999935 × 0.243454128260775 × 6371000     		du = 297.413118657797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32491746)-sin(1.32487078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243408852484142-0.243454128260775)×R²
    abs(-1.73435703--1.73454878)×4.52757766333522e-05×R²
    0.000191749999999935×4.52757766333522e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.52757766333522e-05×40589641000000     		ar = 88441.9253064141m²