Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73376 / 76448
↖ ↑ ↗
← S 28.690588°
E 21.533203°		 ← 267.93 m → S 28.690588°
E 21.535950°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.692997°
E 21.533203°		 ← 267.92 m →
71 777 m²		 S 28.692997°
E 21.535950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559818267822266 y=0.583255767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559818267822266 × 217)
    floor (0.559818267822266 × 131072)
    floor (73376.5)     		tx = 73376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583255767822266 × 217)
    floor (0.583255767822266 × 131072)
    floor (76448.5)     		ty = 76448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73376 / 76448 ti = "17/73376/76448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73376/76448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73376 ÷ 217
    73376 ÷ 131072     		x = 0.559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76448 ÷ 217
    76448 ÷ 131072     		y = 0.583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559814453125 × 2 - 1) × π
    0.11962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37582529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37582529} λ = 0.37582529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523087448654053))-π/2
    2×atan(0.592687826976383)-π/2
    2×0.53502555395465-π/2
    1.0700511079093-1.57079632675     		φ = -0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37582529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73376 KachelY 76448 0.37582529 -0.50074522 21.533203 -28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 73377 KachelY 76448 0.37587323 -0.50074522 21.535950 -28.690588
    Unten links KachelX 73376 KachelY + 1 76449 0.37582529 -0.50078727 21.533203 -28.692997
    Unten rechts KachelX + 1 73377 KachelY + 1 76449 0.37587323 -0.50078727 21.535950 -28.692997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50074522--0.50078727) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50074522--0.50078727) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37582529-0.37587323) × cos(-0.50074522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 267.927107214553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37582529-0.37587323) × cos(-0.50078727) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877204852625372 × 6371000     		du = 267.92094124483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50074522)-sin(-0.50078727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877204852625372)×R²
    abs(0.37587323-0.37582529)×2.01881142145588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01881142145588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01881142145588e-05×40589641000000     		ar = 71776.9934600509m²