Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73375 / 76449
↖ ↑ ↗
← S 28.692997°
E 21.530457°		 ← 267.87 m → S 28.692997°
E 21.533203°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.695406°
E 21.530457°		 ← 267.86 m →
71 760 m²		 S 28.695406°
E 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559810638427734 y=0.583263397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559810638427734 × 217)
    floor (0.559810638427734 × 131072)
    floor (73375.5)     		tx = 73375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583263397216797 × 217)
    floor (0.583263397216797 × 131072)
    floor (76449.5)     		ty = 76449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73375 / 76449 ti = "17/73375/76449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73375/76449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73375 ÷ 217
    73375 ÷ 131072     		x = 0.559806823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76449 ÷ 217
    76449 ÷ 131072     		y = 0.583259582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559806823730469 × 2 - 1) × π
    0.119613647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37577736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583259582519531 × 2 - 1) × π
    -0.166519165039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.523135385553673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37577736} λ = 0.37577736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523135385553673))-π/2
    2×atan(0.592659416040487)-π/2
    2×0.535004528472219-π/2
    1.07000905694444-1.57079632675     		φ = -0.50078727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37577736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.530457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50078727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.692997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73375 KachelY 76449 0.37577736 -0.50078727 21.530457 -28.692997
    Oben rechts KachelX + 1 73376 KachelY 76449 0.37582529 -0.50078727 21.533203 -28.692997
    Unten links KachelX 73375 KachelY + 1 76450 0.37577736 -0.50082932 21.530457 -28.695406
    Unten rechts KachelX + 1 73376 KachelY + 1 76450 0.37582529 -0.50082932 21.533203 -28.695406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50078727--0.50082932) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50078727--0.50082932) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37577736-0.37582529) × cos(-0.50078727) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877204852625372 × 6371000     		do = 267.865054523388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37577736-0.37582529) × cos(-0.50082932) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877184662960082 × 6371000     		du = 267.85888936621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50078727)-sin(-0.50082932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877204852625372-0.877184662960082)×R²
    abs(0.37582529-0.37577736)×2.01896652902711e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01896652902711e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01896652902711e-05×40589641000000     		ar = 71760.3696185991m²