Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7337 / 4911
↖ ↑ ↗
← N 58.274843°
W 18.786621°		 ← 1 284.75 m → N 58.274843°
W 18.764649°		 →
↑
1 284.97 m
↓
↑
1 284.97 m
↓
N 58.263287°
W 18.786621°		 ← 1 285.17 m →
1 651 134 m²		 N 58.263287°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447845458984375 y=0.299774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447845458984375 × 214)
    floor (0.447845458984375 × 16384)
    floor (7337.5)     		tx = 7337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299774169921875 × 214)
    floor (0.299774169921875 × 16384)
    floor (4911.5)     		ty = 4911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7337 / 4911 ti = "14/7337/4911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7337/4911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7337 ÷ 214
    7337 ÷ 16384     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4911 ÷ 214
    4911 ÷ 16384     		y = 0.29974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29974365234375 × 2 - 1) × π
    0.4005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25824774122723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25824774122723))-π/2
    2×atan(3.51924944572273)-π/2
    2×1.29394210543203-π/2
    2.58788421086407-1.57079632675     		φ = 1.01708788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01708788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.274843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7337 KachelY 4911 -0.32788839 1.01708788 -18.786621 58.274843
    Oben rechts KachelX + 1 7338 KachelY 4911 -0.32750490 1.01708788 -18.764649 58.274843
    Unten links KachelX 7337 KachelY + 1 4912 -0.32788839 1.01688619 -18.786621 58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 7338 KachelY + 1 4912 -0.32750490 1.01688619 -18.764649 58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01708788-1.01688619) × R
    0.000201690000000143 × 6371000     		dl = 1284.96699000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01708788-1.01688619) × R
    0.000201690000000143 × 6371000     		dr = 1284.96699000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(1.01708788) × R
    0.000383489999999986 × 0.525845169371281 × 6371000     		do = 1284.75269505792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(1.01688619) × R
    0.000383489999999986 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 1285.17181107509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01708788)-sin(1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525845169371281-0.526016712216751)×R²
    abs(-0.32750490--0.32788839)×0.000171542845470163×R²
    0.000383489999999986×0.000171542845470163×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171542845470163×40589641000000     		ar = 1651134.08418432m²