Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7337 / 4719
↖ ↑ ↗
← N 60.424699°
W 18.786621°		 ← 1 205.89 m → N 60.424699°
W 18.764649°		 →
↑
1 206.09 m
↓
↑
1 206.09 m
↓
N 60.413853°
W 18.786621°		 ← 1 206.29 m →
1 454 660 m²		 N 60.413853°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447845458984375 y=0.288055419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447845458984375 × 214)
    floor (0.447845458984375 × 16384)
    floor (7337.5)     		tx = 7337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288055419921875 × 214)
    floor (0.288055419921875 × 16384)
    floor (4719.5)     		ty = 4719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7337 / 4719 ti = "14/7337/4719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7337/4719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7337 ÷ 214
    7337 ÷ 16384     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4719 ÷ 214
    4719 ÷ 16384     		y = 0.28802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28802490234375 × 2 - 1) × π
    0.4239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33187881904364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33187881904364))-π/2
    2×atan(3.7881539615394)-π/2
    2×1.31270313812304-π/2
    2.62540627624608-1.57079632675     		φ = 1.05460995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05460995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.424699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7337 KachelY 4719 -0.32788839 1.05460995 -18.786621 60.424699
    Oben rechts KachelX + 1 7338 KachelY 4719 -0.32750490 1.05460995 -18.764649 60.424699
    Unten links KachelX 7337 KachelY + 1 4720 -0.32788839 1.05442064 -18.786621 60.413853
    Unten rechts KachelX + 1 7338 KachelY + 1 4720 -0.32750490 1.05442064 -18.764649 60.413853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05460995-1.05442064) × R
    0.000189309999999887 × 6371000     		dl = 1206.09400999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05460995-1.05442064) × R
    0.000189309999999887 × 6371000     		dr = 1206.09400999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(1.05460995) × R
    0.000383489999999986 × 0.493566997265534 × 6371000     		do = 1205.890187575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32750490) × cos(1.05442064) × R
    0.000383489999999986 × 0.493731632799719 × 6371000     		du = 1206.29242754708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05460995)-sin(1.05442064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493566997265534-0.493731632799719)×R²
    abs(-0.32750490--0.32788839)×0.000164635534184998×R²
    0.000383489999999986×0.000164635534184998×6371000²
    0.000383489999999986×0.000164635534184998×40589641000000     		ar = 1454659.50590681m²