Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73369 / 61337
↖ ↑ ↗
← N 11.455799°
E 21.513977°		 ← 299.34 m → N 11.455799°
E 21.516724°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.453107°
E 21.513977°		 ← 299.34 m →
89 596 m²		 N 11.453107°
E 21.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559764862060547 y=0.467967987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559764862060547 × 217)
    floor (0.559764862060547 × 131072)
    floor (73369.5)     		tx = 73369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467967987060547 × 217)
    floor (0.467967987060547 × 131072)
    floor (61337.5)     		ty = 61337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73369 / 61337 ti = "17/73369/61337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73369/61337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73369 ÷ 217
    73369 ÷ 131072     		x = 0.559761047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61337 ÷ 217
    61337 ÷ 131072     		y = 0.467964172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559761047363281 × 2 - 1) × π
    0.119522094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37548973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467964172363281 × 2 - 1) × π
    0.0640716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.201287041504616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37548973} λ = 0.37548973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201287041504616))-π/2
    2×atan(1.22297576624999)-π/2
    2×0.885368868022492-π/2
    1.77073773604498-1.57079632675     		φ = 0.19994141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37548973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.513977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19994141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.455799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73369 KachelY 61337 0.37548973 0.19994141 21.513977 11.455799
    Oben rechts KachelX + 1 73370 KachelY 61337 0.37553767 0.19994141 21.516724 11.455799
    Unten links KachelX 73369 KachelY + 1 61338 0.37548973 0.19989443 21.513977 11.453107
    Unten rechts KachelX + 1 73370 KachelY + 1 61338 0.37553767 0.19989443 21.516724 11.453107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19994141-0.19989443) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19994141-0.19989443) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37548973-0.37553767) × cos(0.19994141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980078216195146 × 6371000     		do = 299.341114439086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37548973-0.37553767) × cos(0.19989443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980087545901022 × 6371000     		du = 299.343963971407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19994141)-sin(0.19989443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980078216195146-0.980087545901022)×R²
    abs(0.37553767-0.37548973)×9.32970587574911e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.32970587574911e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.32970587574911e-06×40589641000000     		ar = 89596.0897021096m²