Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73369 / 55430
↖ ↑ ↗
← N 26.730893°
E 21.513977°		 ← 272.78 m → N 26.730893°
E 21.516724°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.728440°
E 21.513977°		 ← 272.79 m →
74 418 m²		 N 26.728440°
E 21.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559764862060547 y=0.422901153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559764862060547 × 217)
    floor (0.559764862060547 × 131072)
    floor (73369.5)     		tx = 73369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422901153564453 × 217)
    floor (0.422901153564453 × 131072)
    floor (55430.5)     		ty = 55430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73369 / 55430 ti = "17/73369/55430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73369/55430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73369 ÷ 217
    73369 ÷ 131072     		x = 0.559761047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55430 ÷ 217
    55430 ÷ 131072     		y = 0.422897338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559761047363281 × 2 - 1) × π
    0.119522094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37548973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422897338867188 × 2 - 1) × π
    0.154205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.484450307560288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37548973} λ = 0.37548973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484450307560288))-π/2
    2×atan(1.62328245745795)-π/2
    2×1.0186692110086-π/2
    2.0373384220172-1.57079632675     		φ = 0.46654210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37548973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.513977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46654210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.730893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73369 KachelY 55430 0.37548973 0.46654210 21.513977 26.730893
    Oben rechts KachelX + 1 73370 KachelY 55430 0.37553767 0.46654210 21.516724 26.730893
    Unten links KachelX 73369 KachelY + 1 55431 0.37548973 0.46649928 21.513977 26.728440
    Unten rechts KachelX + 1 73370 KachelY + 1 55431 0.37553767 0.46649928 21.516724 26.728440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46654210-0.46649928) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46654210-0.46649928) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37548973-0.37553767) × cos(0.46654210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893128990292697 × 6371000     		do = 272.784582775421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37548973-0.37553767) × cos(0.46649928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893148249936866 × 6371000     		du = 272.790465166494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46654210)-sin(0.46649928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893128990292697-0.893148249936866)×R²
    abs(0.37553767-0.37548973)×1.92596441689341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92596441689341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92596441689341e-05×40589641000000     		ar = 74418.133288988m²