Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73367 / 61361
↖ ↑ ↗
← N 11.391186°
E 21.508484°		 ← 299.41 m → N 11.391186°
E 21.511231°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 11.388494°
E 21.508484°		 ← 299.41 m →
89 636 m²		 N 11.388494°
E 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559749603271484 y=0.468151092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559749603271484 × 217)
    floor (0.559749603271484 × 131072)
    floor (73367.5)     		tx = 73367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468151092529297 × 217)
    floor (0.468151092529297 × 131072)
    floor (61361.5)     		ty = 61361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73367 / 61361 ti = "17/73367/61361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73367/61361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73367 ÷ 217
    73367 ÷ 131072     		x = 0.559745788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61361 ÷ 217
    61361 ÷ 131072     		y = 0.468147277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559745788574219 × 2 - 1) × π
    0.119491577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37539386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468147277832031 × 2 - 1) × π
    0.0637054443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200136555913734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37539386} λ = 0.37539386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200136555913734))-π/2
    2×atan(1.22156955931843)-π/2
    2×0.884805020791926-π/2
    1.76961004158385-1.57079632675     		φ = 0.19881371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37539386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.508484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19881371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.391186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73367 KachelY 61361 0.37539386 0.19881371 21.508484 11.391186
    Oben rechts KachelX + 1 73368 KachelY 61361 0.37544180 0.19881371 21.511231 11.391186
    Unten links KachelX 73367 KachelY + 1 61362 0.37539386 0.19876672 21.508484 11.388494
    Unten rechts KachelX + 1 73368 KachelY + 1 61362 0.37544180 0.19876672 21.511231 11.388494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19881371-0.19876672) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19881371-0.19876672) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37539386-0.37544180) × cos(0.19881371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980301567610484 × 6371000     		do = 299.409331710396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37539386-0.37544180) × cos(0.19876672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980310847360893 × 6371000     		du = 299.412165985032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19881371)-sin(0.19876672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980301567610484-0.980310847360893)×R²
    abs(0.37544180-0.37539386)×9.27975040920792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27975040920792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27975040920792e-06×40589641000000     		ar = 89635.5809603679m²