Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73367 / 61335
↖ ↑ ↗
← N 11.461182°
E 21.508484°		 ← 299.34 m → N 11.461182°
E 21.511231°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.458491°
E 21.508484°		 ← 299.34 m →
89 594 m²		 N 11.458491°
E 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559749603271484 y=0.467952728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559749603271484 × 217)
    floor (0.559749603271484 × 131072)
    floor (73367.5)     		tx = 73367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467952728271484 × 217)
    floor (0.467952728271484 × 131072)
    floor (61335.5)     		ty = 61335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73367 / 61335 ti = "17/73367/61335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73367/61335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73367 ÷ 217
    73367 ÷ 131072     		x = 0.559745788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61335 ÷ 217
    61335 ÷ 131072     		y = 0.467948913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559745788574219 × 2 - 1) × π
    0.119491577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37539386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467948913574219 × 2 - 1) × π
    0.0641021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.201382915303856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37539386} λ = 0.37539386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201382915303856))-π/2
    2×atan(1.22309302320392)-π/2
    2×0.885415849486195-π/2
    1.77083169897239-1.57079632675     		φ = 0.20003537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37539386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.508484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20003537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.461182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73367 KachelY 61335 0.37539386 0.20003537 21.508484 11.461182
    Oben rechts KachelX + 1 73368 KachelY 61335 0.37544180 0.20003537 21.511231 11.461182
    Unten links KachelX 73367 KachelY + 1 61336 0.37539386 0.19998839 21.508484 11.458491
    Unten rechts KachelX + 1 73368 KachelY + 1 61336 0.37544180 0.19998839 21.511231 11.458491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20003537-0.19998839) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20003537-0.19998839) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37539386-0.37544180) × cos(0.20003537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980059550293963 × 6371000     		do = 299.335413392405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37539386-0.37544180) × cos(0.19998839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980068884326119 × 6371000     		du = 299.338264246083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20003537)-sin(0.19998839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980059550293963-0.980068884326119)×R²
    abs(0.37544180-0.37539386)×9.33403215630513e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33403215630513e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33403215630513e-06×40589641000000     		ar = 89594.3835220096m²